「题解」51Nod 加权约数和

咱就是说要卷起来。思维也不能僵化。

\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\max(i,j)\sigma(ij)}\)
老套路。
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \max(i,j)\sum_{u|i}\sum_{v|j}[(u,v)=1]\frac i u v\)
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \max(i,j)\sum_{u|i}\sum_{v|j}\sum_{gcd|(u,v)}\mu_{gcd} \frac i u v\)
尝试枚举 \(gcd\)。
\(\sum_{gcd=1}^n\mu_{gcd}\sum_{u=1}^{n/gcd}\sum_{v=1}^{n/gcd}\frac v u \sum_{i=1}^{n/gcd/u}i\cdot u\cdot gcd \sum_{j=1}^{n/gcd/v}\max(i\cdot u\cdot gcd,j\cdot v\cdot gcd)\)
\(\sum_{gcd=1}^n\mu_{gcd}*{gcd}^2\sum_{u=1}^{n/gcd}\sum_{v=1}^{n/gcd}\frac v u \sum_{i=1}^{n/gcd/u}i\cdot u\sum_{j=1}^{n/gcd/v}\max(i\cdot u,j\cdot v)\)
rnm 这个 \(\max\) 还是推不动。想一想我们平时的推式子是将 \(j:[i,n]\) 转化为 \(j:[1,n]\)。但这道题有可能它就腰间盘突出，将
guzhe。

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