解析函数的幂级数理论【无穷级数收敛性】
作者：互联网
解析函数的幂级数理论【无穷级数收敛性】
级数也是研究函数的一个重要工具，无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的重要表达形式之一。许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的。
级数收敛性
给定复数级数
∑
n
=
0
∞
u
n
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
⋯
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots
n=0∑∞un=u0+u1+u2+⋯
如果它的部分和
S
n
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
⋯
+
u
n
S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}
Sn=u0+u1+u2+⋯+un
所构成的序列
{
S
n
}
\left\{S_{n}\right\}
{Sn} 收敛，则称级数
∑
u
n
\sum u_{n}
∑un 收敛，而序列
{
S
n
}
\left\{S_{n}\right\}
{Sn} 的极限
S
=
lim
n
→
∞
S
n
S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}
S=limn→∞Sn，称为级数
∑
u
n
\sum u_{n}
∑un 的和；否则，级数
∑
u
n
\sum u_{n}
∑un 是发散的。复数项级数
∑
k
=
0
∞
f
k
\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}
∑k=0∞fk可以归结为两个实数项级数的和。
∑
k
=
0
∞
f
k
=
∑
k
=
0
∞
u
k
+
i
∑
k
=
0
∞
v
k
⟶
收敛于
F
=
u
+
i
v
\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} u_{k}+i \sum_{k=0}^{\infty} v_{k} \stackrel{\text { 收敛于 }}{\longrightarrow} F=u+i v
k=0∑∞fk=k=0∑∞uk+ik=0∑∞vk⟶ 收敛于 F=u+iv
如果级数
∑
n
=
0
∞
∣
u
n
∣
\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|
∑n=0∞∣un∣ 收敛，则称级数
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 绝对收敛，收敛而非绝对收敛的级数称为条件收敛。
一致收敛：任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在与 z z z 无关的 K K K，使得当 k > K k>K k>K 时，对于每一点 z ∈ D z \in D z∈D 都有 ∣ F ( z ) − F k ( z ) ∣ < ε \left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon ∣F(z)−Fk(z)∣<ε，则称级数 ∑ k = 0 ∞ f k ( z ) \sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z) ∑k=0∞fk(z) 在 D D D 内一致收敛。
收敛性的判定
比较判别法 - 绝对收敛
若 ∃ N ∈ N \exists N \in \mathbb{N} ∃N∈N，对 ∀ n > N \forall n>N ∀n>N，都有 ∣ u n ∣ < v n \left|u_{n}\right|<v_{n} ∣un∣<vn，而 ∑ n = 0 ∞ v n \sum_{n=0}^{\infty} v_{n} ∑n=0∞vn 收敛，则 ∑ n = 0 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right| ∑n=0∞∣un∣ 收敛，即 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 绝对收敛。若 ∣ u n ∣ > v n > 0 \left|u_{n}\right|>v_{n}>0 ∣un∣>vn>0，而 ∑ n = 0 ∞ v n \sum_{n=0}^{\infty} v_{n} ∑n=0∞vn 发散，则 ∑ n = 0 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right| ∑n=0∞∣un∣ 发散。
比值判别法 - 绝对收敛
若存在与 n n n 无关的常数 ρ \rho ρ，则当 ∣ u n + 1 / u n ∣ < ρ < 1 \left|u_{n+1} / u_{n}\right|<\rho<1 ∣un+1/un∣<ρ<1 时，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 绝对收敛；当 ∣ u n + 1 / u n ∣ > ρ > 1 \left|u_{n+1} / u_{n}\right|>\rho>1 ∣un+1/un∣>ρ>1 时，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 发散。
达朗贝尔(d’Alembert) 判别法 - 绝对收敛
若
lim
n
→
∞
∣
u
n
+
1
/
u
n
∣
<
1
\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|<1
limn→∞∣un+1/un∣<1，则级数
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 绝对收敛；若
lim
n
→
∞
∣
u
n
+
1
/
u
n
∣
>
1
\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|>1
limn→∞∣un+1/un∣>1，则
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 发散。
若
lim
n
→
∞
∣
u
n
+
1
/
u
n
∣
=
1
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|=1
limn→∞∣un+1/un∣=1，则
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 的绝对收敛性需要利用下面的 Gauss 判别法进一步检验。
收敛半径： R = lim n → ∞ ∣ u n u n + 1 ∣ R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right| R=limn→∞∣∣∣un+1un∣∣∣
柯西-阿达马(Cauchy-Hadamard) 判别法 - 绝对收敛
对 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un，若 lim n → ∞ ∣ u n ∣ n = r \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=r limn→∞n∣un∣ =r，则当 r < 1 r<1 r<1，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 绝对收敛；当 r > 1 r>1 r>1，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 发散；当 r = 1 r=1 r=1，敛散性无法判定。
收敛半径为： R = lim n → ∞ 1 ∣ u n ∣ R=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{\left|u_{n}\right|}} R=limn→∞∣un∣ 1
达朗贝尔判别法与柯西判别法都遇到了问题，必须用更高级的判别法–高斯(Gauss)判别法
Gauss 判别法 - 绝对收敛
设级数
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 邻项的比值可以写成
u
n
u
n
+
1
=
1
+
μ
n
+
O
(
n
−
λ
)
\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=1+\frac{\mu}{n}+O\left(n^{-\lambda}\right)
un+1un=1+nμ+O(n−λ)
其中
λ
>
1
\lambda>1
λ>1，若
R
e
μ
>
1
Re \ \mu>1
Re μ>1，则级数
∑
n
=
0
∞
u
n
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}
∑n=0∞un 绝对收敛；若
R
e
μ
≤
1
Re \ \mu \leq1
Re μ≤1，则
∑
n
=
0
∞
∣
u
n
∣
\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|
∑n=0∞∣un∣ 发散。
魏尔斯特拉斯 M-判别法/优级数准则 - 一致收敛
如果有正数列
M
n
(
n
=
0
,
1
,
2
,
⋯
)
M_{n}(n=0,1,2, \cdots)
Mn(n=0,1,2,⋯)，对一切
z
∈
E
z \in E
z∈E 均有
∣
f
n
(
z
)
∣
⩽
M
n
,
n
=
0
,
1
,
2
,
⋯
\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M_{n}, \quad n=0,1,2, \cdots
∣fn(z)∣⩽Mn,n=0,1,2,⋯
且正项级数
∑
n
=
0
∞
M
n
\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}
∑n=0∞Mn 收敛，则
∑
n
=
0
∞
f
n
(
z
)
\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)
∑n=0∞fn(z) 在
E
E
E 上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数
∑
n
=
0
∞
M
n
\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}
∑n=0∞Mn 称为复函数项级数
∑
n
=
0
∞
f
n
(
z
)
\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)
∑n=0∞fn(z) 的强级数(或优级数)。
Cauchy 判据 - 一致收敛
级数的收敛性，完全等价于其部分和序列的收敛性。因此，根据序列收敛的充要条件，可以写出无穷级数收敛的 Cauchy 充要条件:
∀
ε
>
0
,
∃
\forall \varepsilon>0, \exists
∀ε>0,∃ 正整数
n
n
n，使对于任意正整数
p
p
p，有
∣
u
n
+
1
+
u
n
+
2
+
⋯
+
u
n
+
p
∣
<
ε
.
\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon \text {. }
∣un+1+un+2+⋯+un+p∣<ε.
令
p
=
1
p=1
p=1，则可以得到级数收敛的必要条件：
lim
n
→
∞
u
n
=
0.
\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 .
n→∞limun=0.
绝对收敛和一致收敛
绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况。如果级数 Σ U n \Sigma U_{n} ΣUn 各项的绝对值所构成的级数 Σ ∣ U n ∣ \Sigma\left|U_{n}\right| Σ∣Un∣ 收敛，则称级数 Σ U n \Sigma U_{n} ΣUn 绝对收敛。
一致收敛：任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在与 z z z 无关的 K K K，使得当 k > K k>K k>K 时，对于每一点 z ∈ D z \in D z∈D 都有 ∣ F ( z ) − F k ( z ) ∣ < ε \left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon ∣F(z)−Fk(z)∣<ε，则称级数 ∑ k = 0 ∞ f k ( z ) \sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z) ∑k=0∞fk(z) 在 D D D 内一致收敛。
一致收敛的判定方法：Cauchy判据(充要条件)、
标签：infty,right,级数,sum,收敛性,幂级数,un,收敛 来源： https://blog.csdn.net/woaiwulima/article/details/122267678