记号来自《基础拓扑学》《基础拓扑学讲义》

道路提升引理

• 道路提升引理
  • 定义
  • 首先是
    • 同态
    • 满
      • 道路提升引理
      • \(\alpha\) 的提升
    • 单
      • 圈数（Armstrong度数）
      • 引理3（尤承业p118)
      • 引理4（尤承业p118)
      • 综上
    • 下次看看同伦提升定理

定义

首先是

要证明 \(\phi\) 是同构，需要

• \(\phi\) 是同态
• \(\phi\) 是满同态
• \(\phi\) 是单同态

尤承业的结论是 \(\pi_1(S^1, z_0)\) 是自由循环群，也即 \(\pi_1(S^1, z_0) \cong \Z\)

同态

满

只需 \(\forall \alpha \in \pi_1(S^1, 1), \exist x\in \Z, s.t. \phi(x)=\langle \alpha \rangle\)

因此需要做的就是根据 \(\alpha\) 构造出 \(\phi^{-1}(\alpha)\)，事实上 \(\phi\) 的定义在上面已经给出

道路提升引理

若 \(\sigma\) 为 \(S^1\) 内以 \(1\) 为起点的一条道路，则存在 \(\R\) 内唯一道路 \(\widetilde{\sigma}\) 以 \(0\) 为起点，并满足 \(\pi \circ \widetilde{\sigma}=\sigma\)

• 1. 记 \(U=S^1-\{1\}, V=S^1-\{-1\}\)
     则 \(\sigma^{-1}(S^1) = \sigma^{-1}(U\cup V) = \sigma^{-1}(U)\cup \sigma^{-1}(V)\) 构成 \(I\) 开覆盖
  2. 将 \(I=\sigma^{-1}(S^1)\) 分割为小段闭区间 \(\{I_a\}\) （Lebesgue引理），分别落在 \(\sigma^{-1}(U)\cup \sigma^{-1}(V)\) 当中
  3. 有: 限制在每一小段 \(I_a\) 上的覆叠映射 \(\pi|_{I_a}\) 同胚。将 \(\widetilde{\sigma}|_{I_a} = (\pi|_{I_a})^{-1}\circ (\sigma|_{I_a})\) 拼接起来得到完整的 \(\widetilde{\sigma}\)

• 由复叠空间提升唯一性定理可知每一小段唯一性，因而 \(\widetilde{\sigma}\) 唯一

\(\alpha\) 的提升

利用上面引理，得到 \(\alpha\) 在覆叠空间 \((\R, \pi)\) 上有且有唯一以 \(0\) 为起点的提升 \(\widetilde{\alpha}: I\to \R\)，且由于 \(\alpha(1)=1\)，所以 \(\widetilde{\alpha}(1)\in \Z\)

取 \(n'=\widetilde{\alpha}(1)\)，则有 \(\widetilde{\alpha}: I \to \R\) 是 \(\R\) 上以 \(0\) 为起点，以 \(n'\) 为终点的道路

那么 \(\pi \circ \gamma_{n'}\in \langle \pi \circ \widetilde{\alpha} \rangle = \langle \alpha \rangle\)

\(\phi(n')=\langle \pi \circ \gamma_{n'} \rangle = \langle \alpha \rangle\)，这就证明了 \(\phi\) 是满同态

单

设 \(n\ne m\in \Z\)，那么要证 \(\phi(n) \ne \phi(m)\)，只需 \(\phi^{-1}(m)\phi(n) \ne \langle e \rangle\)

记 $$\begin{aligned}
P_{(a, b)}:I&\to (b-a)I\
t &\mapsto a+(b-a)t\
a, b\in \Z
\end{aligned}$$
由 \(\gamma_n\) 定义显然有 \(\gamma_n^{-1}\gamma_m = P_{(n, m)}\)

即证 \(\pi \circ \gamma_{n-m} \not\simeq e\)

圈数（Armstrong度数）

定义 \(q(\alpha) = \widetilde{\alpha}(1)-\widetilde{\alpha}(0)\)

圈数似乎特指覆叠空间 \((\R, \pi)\) ，底空间为 \(S^1\)，这样闭路圈数必为整数

引理3（尤承业p118)

设 \(a, b\) 是 \(S^1\) 上基点为 \(1\) 的闭路，使得 \(\forall t \in I, a(t) \ne -b(t)\)，则 \(q(a)=q(b)\)

我确实没资格学数学。

这个引理我举例子问了两个同学，他们都略一思索就给出了和书中解答相同的思路

a, b 在圆形跑道上，从同一点同时开始同向出发，最终 a，b 同时停在同一点，但 a 跑了 2 圈，b 只跑了 1 圈，怎么证他们必有一时刻处于跑道的相反位置？
“a 最终比 b 多跑了 1 圈，所以中间必有一时刻比 b 多跑 1/2 圈”

这就是跑步的连续性？从这里可以看出来时间的连续性似乎就是 \(I\) 的连通性

取 \(a, b\) 提升 \(\widetilde{a}, \widetilde{b}\)
作差 \(f = \widetilde{a} - \widetilde{b}\)，则 \(f\) 连续，且 \(f(0)=0, f(1) = \widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1)\)

于是可以反证:

若 \(q(a) \ne q(b)\) 则有 \(f(1)\ne 0\)，由 \(f\) 连续性，存在 \(f(t_0) = 1/2\)

矛盾

引理4（尤承业p118)

设 \(a, b\) 是 \(S^1\) 上基点为 \(1\) 的闭路，则 \(q(a) = q(b)\Longleftrightarrow a\underset{\dot{}}{\simeq}b\)

• \(\Longrightarrow\)
  取 \(a, b\) 提升 \(\widetilde{a}, \widetilde{b}\)，使得 \(\widetilde{a}(0) = \widetilde{b}(0)\)
  则 \(\widetilde{a}(1) - \widetilde{b}(1) = (q(a) + \widetilde{a}(0)) - (q(b) + \widetilde{b}(0)) = 0\)，因而 \(\widetilde{a} \underset{\dot{}}{\simeq}\widetilde{b}\)
  复合回去 \(\pi \circ \widetilde{a}\) 和 \(\pi \circ \widetilde{b}\) 仍同伦，同基点闭路故定端同伦

• \(\Longleftarrow\)

  (这里书上说同伦映射 \(H:a\underset{\dot{}}{\simeq}b\) 一致连续，我没太搞懂)

综上

于是可知，\(\pi \circ \gamma_{n-m}\) 圈数为 \(n-m\ne q(e) = 0\)，因而 \(\pi \circ \gamma_{n-m} \not\simeq e\)

得证单同态

下次看看同伦提升定理