考研数学线上笔记（八）：凯哥方程组、特征值、相似矩阵系列课程
作者：互联网
目录
- 抽象方程组
- 基础解系相互之间需要满足线性无关、个数为n-r(A)、每个都是解三个条件
- 非奇特的系数相加须为1；齐通要求个数相等、秩相等和互相线性无关
- 非齐次的解进行组合，系数为0是齐次的解，系数为1是非齐次的解
- α~1~、α~2~、α~3~是AX=β的三个无关解，则α~1~-α~2~、α~1~-α~3~是AX=0的两个无关解；基础解系的个数是固定的，如果已知基础解系个数至少为2，选项只有1，必然错误
- A^*^A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A^*^X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <--> r(A)=n-基础解系的向量个数
- 求通解，先求秩，n-秩即为基础解系个数；列向量之间的线性组合关系可以转化为方程组解向量
- 特征值与特征向量
- 相似矩阵与相似对角化
- 实对称矩阵
视频链接：https://www.cctalk.com/m/program/1629431535446012
抽象方程组
基础解系相互之间需要满足线性无关、个数为n-r(A)、每个都是解三个条件
行列式的值不等于0，代表可逆，也代表秩等于阶数
非奇特的系数相加须为1；齐通要求个数相等、秩相等和互相线性无关
非齐次的解进行组合，系数为0是齐次的解，系数为1是非齐次的解
α1、α2、α3是AX=β的三个无关解，则α1-α2、α1-α3是AX=0的两个无关解；基础解系的个数是固定的，如果已知基础解系个数至少为2，选项只有1，必然错误
A*A=|A|E=0，从而得出A的每一个列向量都是A*X=0的解；基础解系的向量个数为n-r(A) <–> r(A)=n-基础解系的向量个数
求通解，先求秩，n-秩即为基础解系个数；列向量之间的线性组合关系可以转化为方程组解向量
特征值与特征向量
逆用矩阵乘法和相似求特征值
秩为1的矩阵，特征值为n-1个0和一个tr(A)（主对角线之和）
每行元素之和相同，特征值为该和；特征值也满足f(A)=0
迹是对角线之和，也是特征值之和；f(A)=0求出的是所有特征值的取值，但不是所有特征值
特征值相乘为行列式的值
伴随的迹是对角线位置的代数余子式之和
特征值：A*=|A|/λ
特征值对应一个特征向量；但特征值和特征向量之间没有倍数关系；
特征多项式一定是化零多项式
相似矩阵与相似对角化
P-1AP=B，代表A与B相似
与对角阵相似的矩阵一定能够相似对角化，且特征值相同
两个矩阵相似，迹、行列式的值、特征值都必须相等；还是无法判断时，用r(A-λE)（必要条件）来做排除法
相似对角化的矩阵特征值相同
当A为秩一矩阵是，A能相似对角化与A的迹不为0等价
秩一矩阵可以分解成一列乘以一行，换个位置变成一行乘以一列算出的数就是该矩阵的迹
根据相似定义，利用对角阵计算
当然，用1、-1、2三个特征值分别用f(A)进行计算，也能算出对应的矩阵的特征值就是3、3、3
实对称矩阵
实对称矩阵的转置等于本身；实反对称矩阵的矩阵是其本身的相反数；实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行相似对角化，即Q-1AQ=E
特征值完全相同 <–> 两个实对称矩阵相似；内含实对称矩阵计算特征值的方法
实对称矩阵一定相似对角化 --> 非零特征值个数恰好是r(A)
(BT)-1= (B-1)T
标签：特征值,角化,个数,凯哥,矩阵,相似矩阵,解系,相似,考研 来源： https://blog.csdn.net/weixin_43956523/article/details/120823778