Prufer codes与Generalized Cayley's Formula

Prufer序列：

　　在一棵n个节点带标号树中，我们认为度数为1的点为叶子。n个点的树的Prufer序列是经过下面流程得到的一个长度为n-2的序列。

　　　　1.若当前树中只剩下两个点，退出，否则执行2。

　　　　2.找到树中编号最小的节点，将与它相连的那个点的编号加入Prufer序列的末尾，并将这个叶子删除。返回1。

　　显然，每棵树都唯一对应一个Prufer序列，而每个Prufer序列也唯一对应一棵树。可以通过一下流程得到这棵树。

　　　　1.令A={1,2,...,n}，不断重复2直到Prufer序列为空。

　　　　2.找到A中最小的不在Prufer序列中的点，将其与Prufer序列首元素连边，然后同时删除这个点与序列首元素。

　　　　3.此时A中还剩下两个点，将这两个点连边。

　　根据以上流程，不难发现：若点i在树中的度数为a[i]，则它在Prufer序列中会出现a[i]-1次。

Cayley's Formula：

　　Prufer序列中的每个元素都可以从1取到n，且每种方案会唯一对应一棵带标号无根树。

　　所以，由于Prufer序列共有$n^{n-2}$个，n个点的带标号无根树就有$n^{n-2}$种。

　　拓展：

　　　　1.显然，n个点的带标号有根树有$n^{n-2}$种。

　　　　2.

标签：标号,codes,个点,Cayley,树中,序列,Formula,Prufer
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