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Cayley 公式的另一种证明
Cayley 公式的一些广为人知的证法： Prufer 序列 Matrix-Tree 定理 然而我都不会 233，所以下面说一个生成函数角度的证法 . 我们知道 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种，即 Cayley 公式 . 具体数学的做法是考虑递推完全图生成树个数，然后推出 EGF 的关系 . 那个递推太牛特征多项式的简便求解法
无需脑子，背式子即可，可惜是 $O(n^4)$ 我们都知道根据 $\text{Cayley-Hamilton}$ 定理有 $$\sum_{i=0}^n c_i A^i=\text{O}$$ $O$ 是 $0$ 矩阵 令 $C_i=c_{n-i}$ ， $s_i$ 为 $A^i$ 对角线上数的和 所以根据牛顿恒等式（我也不知道咋来的，推导咕咕咕）就有： $$\sum_{i=0}^{k-1}C_i S_{k-i}+k#01-Trie,Cayley定理#51nod 1601 完全图的最小生成树计数
题目 分析 考虑建出一棵Trie，然后最小生成树就是0的部分到1的部分连一条边， 这个可以用区间短的一方查询另一棵trie，这样时间复杂度为 \(O(n\log^2{mx})\) 方案数注意相同的 \(n\) 个点的无根树为 \(n^{n-2}\) 代码 #include <cstdio> #include <cctype> #include <algorithm> usinCayley定理
Cayley定理：给定\(n\)个点（互不相同），它们所构成的无根树的个数为\(n^{n-2}\)。 证明：可以考虑prufer数列，每一棵无根树唯一对应一个有\(n-2\)个元素的prufer数列，并且，每一个prufer数列都唯一对应一棵无根树，所以，共有\(n^{n-2}\)种。 广义Cayley定理：（参照jklover的博客) \(n\)个标号节点形Codeforces 1109D: generalizations of Cayley's formula证明
做这题的时候发现题解里有提到$generalizations of Cayley's formula$的，当场懵逼，Wikipedia里也就带到了一下，没有解释怎么来的，然后下面贴了篇论文。 大概就是$n$个点$k$个联通块的森林，$1,2,\cdots,k$属于不同的联通块，这样不同的方案数共有$k\cdot n^{n-k-1}$种。 我自己用$PrüfePrufer codes与Generalized Cayley's Formula
Prufer序列： 在一棵n个节点带标号树中，我们认为度数为1的点为叶子。n个点的树的Prufer序列是经过下面流程得到的一个长度为n-2的序列。 1.若当前树中只剩下两个点，退出，否则执行2。 2.找到树中编号最小的节点，将与它相连的那个点的编号加入Prufer序列的末尾，并将这个