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关于下降幂

定义下降幂就是形如 \(n^{\underline m}\) 的式子，表示 \[n^{\underline m} =\prod_{i=n-m+1}^n i=\frac{n!}{(n-m)!} \]同理还有一个上升幂： \[n^{\overline m}=\prod_{i=n}^{n+m-1} i=\frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \]注意这个地方 \(n,m\) 都可能是负数，也就是 \(n^{\underline {-m}}=

ARC100F口胡

写一篇自己能看得懂的题解。。。。。。先考虑一个正难则反，用 \(a\) 序列出现过的次数减去在不好的序列里面的出现次数。前者显然是 \(k^{n-m}(n-m+1)\)，考虑后者的答案。分三种情况讨论： \(a\) 是一个好序列显然为 \(0\)。 \(a\) 中的数字互不相同此时存在 \(m<k\)。考虑

典中典之第二类斯特林数

第二类斯特林数：将 \(n\) 个物品放进 \(m\) 个不区分的盒子的方案数，记为 \(S(n,m)\)。 \(n^2\) 递推公式：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m\cdot S(n-1,m)\). 附代码： s[0][0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=i;++j) s[i][j]=add(s[i-1][j-1],mul(s[i-1][j],j)); 第二类

2022.7 杂题

P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题组合数配合下降幂有优秀的性质： \[m^{\underline{k}}\binom{n}{m}=n^{\underline{k}}\binom{n-k}{m-k}. \]将 \(f(x)\) 转化为下降幂多项式： \[f(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^{\underline{i}}. \]对于其中的每一项 \(b_kx^{\underline{k}}\)，分别计

你不知道的下划线属性-text-decoration

大家好，我是半夏

22.3.28 t2

tag：推柿子，下降幂，生成函数根据递推式可以写出答案的封闭形式 \[\frac1{(1-x-x^2)^k} \]答案就是这个多项式的第 \(n\) 项系数。 \[ans=[x^n]\frac1{(1-x-x^2)^k} \]\[ans=[x^n]\frac1{(1-\lambda_1x)^k}\frac1{(1-\lambda_2x)^k} \]注意到 \[[x^n]\frac1{(1-ax)^k}=\binom{n+k-1}

下降幂多项式和 [ATC ARC118F] Growth Rate

[ATC ARC118F] Growth Rate 老题新做。所有的一切首先依赖这些式子： \[x^n = \sum_{i = 0}^n x^\underline i {n \brace i} \\ x^\underline n = \sum_{i = 0} (-1)^{n-i} {n \brack i} x^i \]Part I - 常规做法考虑 \(F_i(x)\) 表示第 \(i\) 个数是 \(x\) 的方案数。非

导数的几何意义

\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) 【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\) 选择性必修第二册同步拔高，难度3颗星！模块导图知识剖析导数的几何意义函数\(y=f(x)\)在点\(

下降幂多项式的简单小应用

看 lyx 的《〈具体数学〉选讲》学的，不知道哪里有更好的材料 /kk 这篇是自己做笔记用的，要学更建议看原 PPT（基础知识下降幂: \[x^\underline{m}=x(x-1)\cdots(x-m+1)=m!{x\choose m}=\frac{x!}{(x-m)!} \]下降幂的差分： \[(x+1)^{\underline m}-x^{\underline m}=mx^\underline{m-

下降幂多项式 lgP6667题解

既然看到了这道“板子”，那还是来写一下题解吧。。。如果有机会希望能推一下载谈binominial sum 的做法。 \[\sum_{k=0}^nf(k)\binom n kx^k(1-x)^{n-k} \]看到组合数和多项式求值就去想下降幂吧，因为没什么别的好办法了。。。设下降幂多项式 \(g(x)=f(x)\)。 \[\sum_{i=0}^m g_i

斯特林数与斯特林反演

我们熟知一个度数为 \(D\) 的多项式有三种经典表示：系数表示，也就是 \(P(x) = \sum_{i=0}^D\limits c_i x^i\)。点值表示，也即给出 \(P\) 在 \(D+1\) 个不同的位置的取值 \((x_0, P(x_0)), \dots, (x_D, P(x_D))\). 下降幂表示，也即定义 \(x^{\underline{i}} = x(x-1)\dots (x

【题解】CF1278F Cards / P6031 Cards 加强版

伞兵看错题了好久 /hanx，我还以为是第一次出现王牌的轮数期望值的 \(k\) 次方。一个直观的做法就是考虑 \(i^k\) 的组合意义：相当于从那些出现王牌的轮次中可重带标号地选择 \(k\) 轮，注意到只需要管被选到的最多 \(k\) 轮，设计一个 dp 解决即可。接下来考虑加强版，枚举出现王牌的次

loj3300.「联合省选 2020 A」组合数问题

题目链接屑题，估计考场上遇见这种东西我会直接被送退役。（悲）这一题可以当做下降幂多项式入门。下降幂记作 \(n^{\underline x}=\frac{n!}{(n-x)!}\)。这个东西也有一个你小学就知道的名字叫做排列。推式子的基础是 \(k^{\underline m}\dbinom n k=\frac{k!n!}{(k-m)!k!(n-k)!}=

题解 P5308 [COCI2019] Quiz

\(\text{WQS}\) 二分+斜率优化若没有 \(k\) 的限制，可以用 \(f_i\) 表示剩 \(i\) 个人时获得的最大收益，那么当下一轮剩 \(j\) 个人时，这一轮就淘汰了 \(i-j\) 个人，获得 \(\dfrac{i-j}{i}\) 的奖金。所以转移方程为 \(f_i=\max\{f_j+\dfrac{i-j}{i}\}(j<i)\)。这个式子显然可以斜

数学随记

目录前言数学变换木示木干 orz 前言随心所欲。数学变换 \({n\choose k}\times k^{\underline{m}}={n-m\choose k-m}\times n^{\underline{m}}\) 组合数和下降幂相乘有优美的性质(虽然看起来没啥用)。 \(\overset{n}{\underset{i=m}{\sum}}{i\choose m}={n+1\choose m+1}\)

IOS考试题2

IOS考试题2 考点，考察UI控件的坐标获取，动画的使用等知识的使用，OC能写出来，swift就能写出来，swiftUI略过，国内使用率10%(截止今天) oc写法 // // ViewController.m // 002-考试题2oc1 // // Created by 鲁军 on 2021/5/30. // #import "ViewController.h" @interface ViewCon

【题解】2020联合省选A卷-Day1

冰火战士有关卡常看到\(2\times 10^6\)：卡常？？？那我写树状数组！！树状数组怎么二分？见这篇CF上的文章。有关如何二分用\(a_i\)表示温度为\(i\)的冰战士的因为实际上求的是 \[\max_i\left\{\min\left\{\sum_{j\le i}a_j,\sum_{j\ge i}b_j\right\}\right\} \]而这个形式很难快速求。但

LOJ #3300「联合省选 2020 A」组合数问题

[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题常用手法 \[{n\choose k} k^{\underline m}={{n-m}\choose {k-m}} n^{\underline m} \]\[(\sum_{k=0}^n f(k)\times x^k \times {n\choose k}) \bmod p \]\[\sum_{i=0}^m a_i k^i=\sum_{j=0}^m b_i k^{\underline i} \]通过第二类斯特林数转下降

组合数学学习笔记2

Stirling 数第一类斯特林数 \({n\brack m}\) 为第一类斯特林数，表示将 \(n\) 个不同元素划分为 \(k\) 个圆排列的方案数。有递推式 \[{n\brack m}={n-1\brack k-1}+(n-1){n-1\brack k} \]第二类斯特林数 \({n\brace m}\) 为第二类斯特林数，表示将 \(n\) 个不同元素划分为 \(k\) 个

洛谷P2791 幼儿园篮球题另解

题面题解上了文化课之后终于知道“超几何分布”的准确定义了，这时候再回来看这题，突然灵光一闪，想到了一个新的解法。超几何分布：\(n\) 个物品中，\(m\) 个次品，不放回抽取的 \(k\) 个物品中有 \(x\) 个次品的概率 \(P(x = i) = \dfrac {\binom mi \binom {n - m} {k - i}} {\binom nk

前端学习（六）——HTML5中通过CSS设置超链接及鼠标形状

1.CSS中设置超链接 1.1 实例一： <html lang="en"> <head> <meta charset="utf-8"/> <meta name="generator" content="EditPlus®"/> <meta name="author" content=""/> <meta

[AtCoder Beginner Contest 172] E - NEQ（容斥原理）

Problem 题目地址 Solution 前置知识（只是为了书写方便） \(m^{\underline{n}}=m(m-1)(m-2)...(m-n+1)=\frac{m!}{n!}\)（\(m^\underline{n}\) 这个东西叫下降幂）。题解首先对于限制1 和限制2，合法方案数为 \((m^\underline{n})^2\)（包括限制3 的不合法方案）。考虑减去限制3 的不合法

聊一聊粗糙集(六)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。上节我们介绍了知识粒度的矩阵表示形式，本节将介绍基于知识粒度属性约简定义和算法。基于粗糙特征选择算法亦称为属性约简，其旨在保持数据集分类能力不变的前提下，通过约简冗余属性，最后得到问题的决策或分类规则。相关定义设决策信息系统

Random variable

\(\underline{cdf:}\)cumulative distribution function \(F(x)=P(X \leq x)\) \(\underline{pmf:}\)probability mass function(for discrete probability distribution ) (1)\(p(x) \geq0,x \in \mathcal{X}\) (2)\(\sum\limits_{x \in \mathcal{X}}P(x)

Survey sampling

Survey sampling \(\bullet\)What is survey sampling?(c.f.census survey)(c.f.:参考，查看，来源于拉丁语) \(\bullet\)understanding the whole by a \(\underline{fraction}\)(i.e.a \(\underline{sample}\)) Population: Q:What is the population to survey?(In some ca