ARC100F口胡

写一篇自己能看得懂的题解。。。。。。

先考虑一个正难则反，用 \(a\) 序列出现过的次数减去在不好的序列里面的出现次数。

前者显然是 \(k^{n-m}(n-m+1)\)，考虑后者的答案。

分三种情况讨论：

1. \(a\) 是一个好序列

显然为 \(0\)。

2. \(a\) 中的数字互不相同

此时存在 \(m<k\)。

考虑一个 DP，设 \(f[n][j]\) 表示长度为 \(n\) 的不好的序列中，最后 \(j\) 个数字互不同但最后 \(j+1\) 个数字中存在相同的数。

转移比较明显，是 \(f[n][j]=f[n-1][j-1]\times(n-j)+\sum_{i=j}^{k}f[n-1][i]\)。

然后设 \(g[n][j]\) 表示长度为 \(n\) 的不好的序列中，最后 \(j\) 个数字互不相同但最后 \(j+1\) 个数字中存在相同的数的序列中 \(a\) 的出现次数。

转移和 \(f\) 是一样的，但是需要注意当 \(j\geq m\) 的时候后缀中一定包含一个 \(a\)，需要令 \(g[n][j]\) 加上 \(f[n][j]\)。

需要注意 \(a\) 序列只有一种，但是 \(g\) 把所有 \(a\) 的排列也都包含了，需要除以 \(k^{\underline m}\) 才行。

3. \(a\) 中存在相同的数字

枚举 \(a\) 在序列中出现的位置，可以将 \(a\) 拆成 \(Q+S+P\) 的形式，其中 \(Q\) 和 \(P\) 不存在相同的数。

现在只需要考虑后缀某个长度互不相同的方案数即可，但是需要除以 \(k^{\underline{|Q|}}\) 和 \(k^{\underline{|P|}}\)。

DP 和上述的 \(f\) 是相同的，最后的形式比较类似一个卷积。

复杂度均为 \(O(nk)\)。

标签：需要,数字,相同,序列,互不,ARC100F,underline
来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16607308.html