2022.7 杂题
作者：互联网
P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题
组合数配合下降幂有优秀的性质：
\[m^{\underline{k}}\binom{n}{m}=n^{\underline{k}}\binom{n-k}{m-k}. \]将 \(f(x)\) 转化为下降幂多项式：
\[f(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^{\underline{i}}. \]对于其中的每一项 \(b_kx^{\underline{k}}\)，分别计算答案：
\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^n b_k i^{\underline{k}} x^i \binom{n}{i}\\ &=b_kn^{\underline{k}} \sum_{i=0}^n \binom{n-k}{i-k}x^i\\ &=b_kn^{\underline{k}} \sum_{i=0}^{n-k} \binom{n-k}{i} x^{i+k}\\ &=b_kn^{\underline{k}}x^k(x+1)^{n-k}. \end{aligned} \]时间复杂度 \(O(m^2)\)。
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