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交换瓶子（图论、环、置换群、贪心）
有 N 个瓶子，编号 1∼N，放在架子上。 比如有 5 个瓶子： 2 1 3 5 4 要求每次拿起 2 个瓶子，交换它们的位置。 经过若干次后，使得瓶子的序号为： 1 2 3 4 5 对于这么简单的情况，显然，至少需要交换 2 次就可以复位。 如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。 输入格式 第一行包含一个整数 N，表示群论基础(1)：群的定义
我有一定概率在2023年上研究生的《群论》课。这个概率较小，但我不妨整理点笔记，做点准备。 群论体现了人类史上伟大的洞察力和天才的想象力。而且它并不难，就是要慢慢整理整理。 我真希望有一天，人能发现新的表述语言，让复杂的东西显得简单。因为我相信，在遥远的外星球，或许存在一些外星E. Permutation Shift（置换群）
题目 题意 给你一个数组然后问你有几种k操作在m此交换下，变成给出的数组 k操作为让后k个数到前面去 做题方法 \(m<=\frac{n}{3}\)所以\(m\)最多影响\(\frac{2n}{3}\)个数字,所以还有\(\frac{n}{3}\)个数字需要\(k\)操作影响 \(cnt[k]+2m>=n\)而\(\sum sum[i]=n\)所以\(k\)最多有3置换群，Polya引理和burnside引理（等价类计数问题）
参考文章： 等价类计数问题 Burnside引理&Pólya定理 Burnside引理与Polya定理 置换群和Burnside引理，Polya定理 概念引入： 离散数学应该学过置换群的相关概念，置换本质就是映射，可以理解成一个正方形绕其中心逆时针旋转90度，就可以看作是正方形四个顶点的置换。 置换会形成一个环。【笔记】Polya定理
本文主要参考 《Introductory combinatorics》（Richard A. Brualdi，Prentice Hall (2009)）。 Burnside定理（Theorem 14.2.3） 令\(G\)是\(X\)上的一个置换群，\(C\)是一个\(X\)的染色的集合，满足对所有\(f\)属于\(G\)，\(c\)属于\(\mathcal C\)，有\(f*c\)属于\(C\)。那么\(N(G,\mathcal C)\)，\(LeetCode1806：还原排列的最少操作步数（置换群 or 模拟）
题意：题目的意思是，给定一个初始状态perm，然后对perm的每个元素按照上述的规则进行变换操作。问：perm经过多少次这种操作能够变回初始的perm。 解题思路：第一种方法就是模拟，一直变换，直到变成原来的样子。 第二种解法：置换群与不相交循环，如图 code: #解法1： class Solutio置换群
置换群 置换实质为映射，是可逆的。 Burnside引理： 对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f)，则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。 Polya引理： 例题 一个2*2的方阵，用两种颜色涂色，求不同的着色方案个数（若通过旋转可相同则算为组合数学（含二项式反演，特殊数列，置换群）
资料与前置知识 必备技能：数论 容斥计数部分已搬到：容斥&计数 当小球遇上盒子 组合基础 组合恒等式 \[nC(n,m)=mC(n-1,m-1) \]\[C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) \]\[\sum_{0<=i<=n}C(n,i)=2^n \]\[\sum_{0<=i<=n}(-1)^i * C(n,i)=0 \]\[\sum_{m<=i<=n}C(i,m)=C(n+1,m+1) \]\[\sum_{0POJ-2409 Let it Bead 【置换群-Polya定理】
Let it Bead Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Description "Let it Bead" company is located upstairs at 700 Cannery Row in Monterey, CA. As you can deduce from the company name, their business is beads. Their PR department found o