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Raney 引理
设整数序列 \(\{ A_n \}\)，前缀和 \(S_i = A_1 + A_2 + \ldots + A_i\). 若 \(S_n = 1\)，则在 \(\{ A_n \}\) 的 \(n\) 个循环表示中，有且仅有一个序列 \(\{ B_n \}\)，满足 \(\{ B_n \}\) 的任意前缀和均大于 \(0\). 证 考虑几何证明，在笛卡尔系中绘制 \((i, S_i)\) 的折线图，作一条斜由曲线的公切线求参数范围
前言 由于是曲线的公切线，故这类问题一般至少涉及两条曲线，一条直线[公切线]； 求解思路 设曲线\(C_1：y=f(x)\)，曲线\(C_2：y=g(x)\)，其公切线为直线\(l\)，分别与两条曲线相切于点\(A(x_1,y_1)\)和点\(B(x_2,y_2)\)，则在每一个切点处，利用切线方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)，应该能得到两条切线方程，这由KTT展开的一系列知识点
首先为了便于理解，补充梯度方向这一概念 借鉴网址：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1612682474674468619&wfr=spider&for=pc 首先我们来了解一下梯度的方向为什么会与等高线的切线方向垂直 图1. 梯度介绍图 假设我们有几何上的一个曲面S，曲面被平面c截出的曲线L的方程为：z = f(x,y),直线和曲线相切，曲线和曲线相切
一、相切模型 模型函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)相切于点\(Q\)，求点\(Q\)的坐标。\((e，1)\) 分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有 \(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)； 从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\