直线和曲线相切，曲线和曲线相切
作者：互联网
一、相切模型
分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有
\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；
从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)
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二、直线和曲线相切
【分析】将原本数的问题，转化为形的问题，即两个函数的图像有交点的问题，从形上来处理解决。
【解答】由题目可知，方程\(\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}=x+m\)有实根，
即函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)和函数\(y=x+m\)的图像有交点，
其中函数\(y=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)的图像是椭圆\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{3}=1\)的上半部分，
函数\(y=x+m\)的图像是动态的直线，
在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，
<iframe frameborder="0" height="500px" src="https://www.desmos.com/calculator/lzfwpzrjpc?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="500px"> </iframe>由图可知，直线和椭圆相交的一个位置是过点\((2，0)\)，代入求得\(m=-2\)；
另一个相交的临界位置是直线和函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)在第二象限的部分相切，
设切点坐标\((x_0，y_0)\)，
则有\(f'(x)=[(3-\frac{3}{4}x^2)^{\frac{1}{2}}]'=\frac{1}{2}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)'\)
\(=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3}{4}\cdot (2x))\)
\(= \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3x}{4})\)
则\(f'(x_0)=\frac{-\frac{3x}{4}}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}=1(x_0<0)\)
即\(-\frac{3x}{4}=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)，两边平方整理得到，
\(x_0^2=\frac{16}{7}\)，即\(x_0=-\frac{4}{\sqrt{7}}\)，
代入函数\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)，得到\(y_0=\frac{3}{\sqrt{7}}\)
即切点为\((-\frac{4}{\sqrt{7}}，\frac{3}{\sqrt{7}})\)
将切点代入直线，得到\(m=\sqrt{7}\)，
结合图像可知\(m\)的取值范围是\([\sqrt{7}，2]\)。
【点评】：①本题目的难点一是将数的问题转化为形的问题求解，其中转化得到半个椭圆也是难点。
②难点二是求直线和椭圆相切时的切点坐标，求导很容易出错的，需要特别注意。
三、曲线和曲线相切
A、\(k>\cfrac{e}{2}\) \(\hspace{2cm}\) B、\(0< k<\sqrt{e}\) \(\hspace{2cm}\) C、\(k>\cfrac{\sqrt{2}e}{2}\) \(\hspace{2cm}\) D、 \(0< k<\cfrac{1}{2e}\)
标签：直线,frac,函数,曲线,相切,sqrt,cfrac,切点 来源： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10357938.html