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由曲线的公切线求参数范围

2020-03-10 12:01:17 作者：互联网

前言

由于是曲线的公切线，故这类问题一般至少涉及两条曲线，一条直线[公切线]；

求解思路

设曲线$C_1：y=f(x)$，曲线$C_2：y=g(x)$，其公切线为直线$l$，分别与两条曲线相切于点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$，则在每一个切点处，利用切线方程$y-y_0=k(x-x_0)$，应该能得到两条切线方程，这两条切线方程应该是一样的[同一法]；则由斜率相等，截距相等可以建立两个切点坐标的关系[等式中会包含有参数]，然后分离参数，转化为方程有解的类型，求解即可。

典例剖析

例1【2016全国卷2理科第16题高考真题】】【公切线问题】直线$y=kx+b$是函数$y=lnx+2$的切线，也是函数$y=ln(x+1)$的切线，求参数$b$的值。

思路：设直线$y=kx+b$与函数$C_0:y=lnx+2$相切于点$P_0(x_0，y_0)$，

直线$y=kx+b$与函数$C_1:y=ln(x+1)$相切于点$P_1(x_1，y_1)$，

则由题可知，在点$P_0(x_0，y_0)$处的切线方程为$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$，

即$y-(lnx_0+2)=\cfrac{1}{x_0}(x-x_0)$，化简为$y=\cfrac{1}{x_0}x+lnx_0+1$；

在点$P_0(x_0，y_0)$处的切线方程为$y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$，

即$y-ln(x_1+1)=\cfrac{1}{x_1+1}(x-x_1)$，化简为$y=\cfrac{1}{x_1+1}x+ln(x_1+1)-\cfrac{x_1}{x_1+1}$

由这两条切线是同一条可知【同一法】，

$\begin{cases} k=\cfrac{1}{x_0}=\cfrac{1}{x_1+1} \\ b=lnx_0+1=ln(x_1+1)-\cfrac{x_1}{x_1+1} \end{cases}$

解得：$\begin{cases} x_0=x_1+1 \\ x_0=\cfrac{1}{2},x_1=-\cfrac{1}{2}\end{cases}$

所以$b=1+lnx_0=1+ln(\cfrac{1}{2})=1-ln2$.

反思：还可以求解$k$值，切线方程等。

求解公切线的条数

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设切点$P(x_0，f(x_0))$满足以下条件：函数$f(x)=-x^2$的图像在点$P(x_0，f(x_0))$处的切线$l$与函数$g(x)=x^2+2x+3$的图像也相切，则这样的切点$P$的个数有【】个。

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

法1：做出两个曲线的图像，由图像的位置观察可得，选$C$；

法2：计算法，设函数$g(x)=x^2+2x+3$上的切点为$P(x_0，y_0)$，

则$k=g'(x_0)=2x_0+2$①，又$y-y_0=(2x_0+2)(x-x_0)$②，

且有$y_0=x_0^2+2x_0+3$③，将③代入②，

得到切线方程为$2(x_0+1)x-y+3-x_0^2=0$，再联立$f(x)=y=-x^2$，

消去$y$，得到$x^2+2(x_0+1)x+3-x_0^2=0$，

由切线和函数$y=f(x)$也相切，则$\Delta=0$，

得到$x_0^2+x_0-1=0$，解得$x_0=\cfrac{\pm\sqrt{5}-1}{2}$，

故情形一，切点为$(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，\cfrac{\sqrt{5}+7}{2})$，斜率为$k=\sqrt{5}+1$；

情形二，切点为$(\cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}，\cfrac{-\sqrt{5}+7}{2})$，斜率为$k=-\sqrt{5}+1$；

故满足题意的切点个数有2个，故选$C$。

对计算结果的图形验证如下所示：

由公切线的存在性问题求参数的取值范围

例3【2017•潍坊模拟】若存在过点$(1，0)$的直线与曲线$y＝x^3$和$y＝ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$都相切，则$a$等于【】

$A.-1或-\cfrac{25}{64}$ $B.-1或-\cfrac{21}{4}$ $C.-\cfrac{7}{4}或-\cfrac{25}{64}$ $D.-\cfrac{7}{4}或7$

分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点处的与$y=x^3$相切的直线，然后联立直线和抛物线(二次函数)，利用$\Delta=0$来解决。

设过点$(1，0)$的直线与曲线$y＝x^3$相切于点$(x_0，y_0)$，由$f'(x)=3x^2$可得，

$\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\\y_0=x_0^3\\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\end{cases}$，

又点$(1，0)$在切线上，故有$0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)$，解得$x_0=0$或$x_0=\cfrac{3}{2}$；

当$x_0=0$时，$y_0=0$，即切点是$(0，0)$，斜率$k=0$，故切线方程为$y=0$，

与曲线$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2+\cfrac{15}{4}x-9=0$，

利用$\Delta=(\cfrac{15}{4})^2+4\times 9a=0$，解得$a=-\cfrac{25}{64}$；

当$x_0=\cfrac{3}{2}$时，$y_0=\cfrac{27}{8}$，即切点是$(\cfrac{3}{2}，\cfrac{27}{8})$，斜率$k=\cfrac{27}{4}$，

故切线方程为$y-\cfrac{27}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})$，

与曲线$y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2-3x-\cfrac{9}{4}=0$，

利用$\Delta=(-3)^2-4\times a\times(-\cfrac{9}{4})=0$，解得$a=-1$；

综上，$a=-1$或$-\cfrac{25}{64}$，故选A。

反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用$\Delta=0$来解决。

例4（公切线）若曲线$C_1：y=ax^2(a>0)$与曲线$C_2：y=e^x$有(存在)公共切线，求参数$a$的取值范围。

分析：由$y=ax^2$，得到$y'=2ax$；由$y=e^x$得到$y'=e^x$；

曲线$C_1：y=ax^2(a>0)$与曲线$C_2：y=e^{-x}$有公共切线，

设公切线与$C_1：y=ax^2(a>0)$相切于点$(x_1，ax_1^2)$，

公切线与$C_1：y=e^x(a>0)$相切于点$(x_2，e^{x_2})$，

则由切线斜率相等，可得$2ax_1=e^{x_2}=\cfrac{e^{x_2}-ax_1^2}{x_2-x_1}$，

可得$2x_2=x_1+2$；便于变量集中，

故由$2ax_1=e^{x_2}$，分离参数得到$a=\cfrac{e^{x_2}}{2x_1}=\cfrac{e^{\frac{x_1}{2}+1}}{2x_1}$

令$f(x)=\cfrac{e^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$，即上式为$a=f(x)(由图可看出x>0)$由实数解，

转化为求函数$f(x)$的值域问题。

$f'(x)=\cfrac{e^{\frac{x}{2}+1}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot 2x-e^{\frac{x}{2}+1}\cdot 2}{(2x)^2}$，

$=\cfrac{e^{\frac{x}{2}+1}\cdot(x-2)}{4x^2}$，

故$x\in(0，2)$上，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，

$x\in(2，+\infty)$上，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，

故$f(x)_{极小}=f(x)_{min}=f(2)=\cfrac{e^2}{4}$；

故$a$的取值范围为$[\cfrac{e^2}{4}，+\infty)$。

例5/LT>【2016日照模拟】已知函数$f(x)=e^x-mx+1$的图像为曲线$C$,若曲线$C$存在与直线$y=ex$垂直的切线，则实数$m$的取值范围是__________.

分析：由于曲线$C$存在与直线$y=ex$垂直的切线，设曲线的切线的切点坐标$(x_0，y_0)$，

则有$f'(x_0)=e^{x_0}-m=-\cfrac{1}{e}$，即方程$m=e^{x_0}+\cfrac{1}{e}$有解，

故转化为求函数$g(x_0)=e^{x_0}+\cfrac{1}{e}$的值域，

由于$x_0\in R$,故$g(x_0)\in (\cfrac{1}{e}，+\infty)$，

故实数$m$的取值范围是$m\in (\cfrac{1}{e}，+\infty)$。

由公切线的存在性问题求切点坐标的取值范围

例6【2016-17宝鸡市第一次质量检测】已知函数$y=x^2$的图像在点$(x_0,x_0^2)$处的切线为$l$，若$l$也与函数$y=lnx$，$x\in (0，1)$的图像相切，则$x_0$必满足范围是【】

$A.0< x_0 <\cfrac{1}{2}$ $B.\cfrac{1}{2}< x_0<1$ $C.\cfrac{\sqrt{2}}{2}< x_0<\sqrt{2}$ $D.\sqrt{2}< x_0<\sqrt{3}$

分析：由切线$l$与函数$y=x^2$相切与点$(x_0，x_0^2)$，则得到切线的点斜式方程为：$y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$

由切线$l$与函数$y=lnx$相切与点$(x_1，lnx_1)$，则得到切线的点斜式方程为：$y-lnx_1=\cfrac{1}{x_1}(x-x_1)$且$x_1\in(0，1)$

又两条切线是同一条直线，得到

$\begin{cases} 2x_0=\cfrac{1}{x_1} \hspace{0.5cm} x_1\in(0，1) \hspace{1cm}①\\\ x_0^2=1-lnx_1 \hspace{3cm}②\end{cases}$

法1：不等式性质法

由于$x_1\in(0，1)$，由①得到$x_0>\cfrac{1}{2}$；由于$1-lnx_1>1$，由②得到$x_0>1$，综合得到$x_0>1$，故选$D$.

法2：零点存在性定理

由方程组消掉$x_1$得到新方程$x_0^2-ln2x_0-1=0$，令函数$f(x_0)=x_0^2-ln2x_0-1$，由零点存在性定理可得，$D$ 是正确的。当然我们还可以结合二分法，得到更小的解的区间。

由公切线的存在性问题求参数的最值

例7【2017山西太原模拟】设函数$f(x)=\cfrac{3}{2}x^2-2ax(a>0)$与$g(x)=a^2lnx+b$有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数$b$的最大值为【】

$A.\cfrac{1}{2e^2}$ $B.\cfrac{1}{2}e^2$ $C.\cfrac{1}{e}$ $D.-\cfrac{3}{2e^2}$

分析：本题目属于公切线问题，设切点为$P(x_0，y_0)$，则满足以下方程组

$\begin{cases}f'(x_0)=g'(x_0)①\\y_0=f(x_0)=\cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0②\\y_0=g(x_0)=a^2lnx_0+b③\end{cases}$

由①得到$x_0=a$或$x_0=-\cfrac{a}{3}(a>0，不符合舍去)$

由②③得到，$\cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0=a^2lnx_0+b$，将$x_0=a$代入，

分离参数$b$得到，$b=-\cfrac{1}{2}a^2-a^2lna$。

设$h(a)=-\cfrac{1}{2}a^2-a^2lna(a>0)$，则$b_{max}=h(a)_{max}$；

接下来，用导数研究$h(a)$的单调性。

$h'(a)=-2a(1+lna)$，借助$y=1+lna$的大致图像可知，

$h(a)$在区间$(0，\cfrac{1}{e})$单调递增，在区间$(\cfrac{1}{e}，+\infty)$上单调递减，

则$h(a)_{max}=h(\cfrac{1}{e})=\cfrac{1}{2e^2}$

即$b_{max}=\cfrac{1}{2e^2}$，选A。

标签：切线,曲线,2x,相切,切点,cfrac,参数,公切线
来源： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12454750.html