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狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)
狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem) 狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等有负权图上的最短路算法 (Goldberg, 1995)
最近听说有了一个有负权图上的 \(O(m\log^8 m \log w)\) 算法, 感觉非常厉害, 于是觉得先来研读一个早些的工作. 如果有可能的话再尝试研读新的算法! 我们知道, OI 中常用的在负权图上的 Bellman–Ford 算法可以在 \(O(nm)\) 时间内计算一个有负权图的单源最短路径, 或者确定这张阅读
题意 \(n\) 个串，每次可以从每一个串中取出前缀，但每一次的取出的所有前缀不满足被包含或包含关系, 求取出所有前缀的最小次数，\(\sum l \leq 10^5\)。 变图, AC自动机 能发现一个串中最多能取出一个前缀，如果取出两个前缀，那么一定其中短的前缀是长的前缀的子串。 如果一个串的前缀能最小路径覆盖与最小链覆盖 Dilworth定理：最小链覆盖等于最长反链（详细证明与经典例题）
一、最小路径覆盖 定义 最小路径覆盖就是指在有向无环图中，用最少的、不相交的简单路径覆盖图中的所有点。 解法 ①将原图中的每个点拆点，（将点u拆成u与u+n）； ②将原图中的每条边 <u,v> 在新图中建立对应的边 <u,v+n>； ③将点（1 ~ n）作为二分图的左部，将点（n+1 ~ 2*n）作为二分图的右部，进【学习笔记】从 CTSC 2008 祭祀谈起的最长反链及最小链覆盖相关问题的解决方法
本题的题意：给出一个 DAG，求最长反链。 Dilworth 定理：偏序集上最长反链的长度等于最小链覆盖中链的数量。 先做一遍传递闭包，使得 DAG 中 \(x<y\) 的定义"从 \(x\) 向 \(y\) 有连边"变为了"从 \(x\) 出发能够到达 \(y\)“，此时就可以直接套用 Dilworth 定理了。 1. 求解最小链覆盖大[TJOI2015]组合数学
[TJOI2015]组合数学 洛谷题目链接 这道题的码量不大，代码没什么难度，但是思维难度会比较大。 注意，有T组数据，每次都需要初始化,并且需要开long long 解释 我们有一个神奇的定理叫做Dilworth定理。 即：最长反链=最小链覆盖=最大独立集。 这道题其实就是求最小链覆盖。 最小链覆盖：用最关于最小路径覆盖
首先最小路径覆盖问题的前提是 \(DAG\) ，并且有两种，一种是最小相交路径覆盖问题（一个点可以在多条路径中）又名最小边覆盖，另一种是最小不相交路径覆盖问题（一个点只能被覆盖在一条路径中）又名最小点覆盖。 最小不相交路径覆盖问题 这个东西的解的数量我不知道有没有什么数学上的解法，目前dilworth 定理
定义集合 \(\mathbb{S}\) 上的偏序集 \((\mathbb{S}, \le)\)，其中 \(\le\) 表示一种关系（不一定就是不大于），满足如下性质： 自反性 \(:a \le a\)。 反对称性 \(:a \le b, b \le a \Longleftrightarrow a = b\) 传递性 \(:a \le b, b \le c \Longrightarrow a \le c\) 定义偏序[CTSC2008]祭祀（二分图+网络流）
题目：洛谷P4298 题目描述： 给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的有向无环图（\(DAG\)），求最多能选多少个点使得它们两两之间不能到达，并且要求你构造出一种方案，且判断每个点是否有可能被选出 \(n \leq 100\)，\(m \leq 1000\) 蒟蒻题解： 在一个\(DAG\)中，它的最长反链就是选出一个点集，使得它们两两之[计蒜客]A1542 The Maximum Unreachable Node Set
题目链接：The Maximum Unreachable Node Set 题目大意： 给定一个偏序集，求最长反链大小。 反链的定义是：链上的任意两点互不可达。 趁机补一补图论的东西。 这道题是道板子题，不过没学过基本上写不出来吧。 首先有两个前置技能： 1.求偏序集上最小不相交链覆盖数 每个点拆成两个点$i$UOJ608. 【UR #20】机器蚤分组
一个字符串的答案，是把它的所有子串分组，满足每组中两两之间互为子串包含关系，最小的组数。 给一个字符串。若干个询问，每次询问一个区间的答案。 \(n,q\le 10^5\) 暴力：建出后缀树，在这棵树上建后缀自动机。把转移边和fail边都丢进图中，然后跑最小链覆盖。跑一次时间是\(O(n^3)\)。 最【ACWing】1010. 拦截导弹
题目地址： https://www.acwing.com/problem/content/1012/ 某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还[BZOJ3997][TJOI2015]组合数学
传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3997 Sol 根据dilworth定理偏序集的最小链划分=最长反链对于这题来说，把图建出来可以发现图是一个DAG 题目等价于求最小路径覆盖如果直接用网络流求的话T飞……发现是个偏序问题，所以DAG上的最小路径覆盖=最长反链即现在要【纪中集训】2019.08.01【NOIP提高组】模拟 A 组TJ
T1 Description 给定一个\(N*N(N≤8)\)的矩阵，每一格有一个0~5的颜色。每次可将左上角的格子所在连通块变为一种颜色，求最少操作数。 Solution IDA*=启发式迭代加深 （我似乎是第一次打这东西） 首先我们要想到迭代加深 （这我都没想到） 设一个数组\(v[][]\)。记左上角所在连通块为1，它扩展$bzoj1143-CTSC2008$ 祭祀$river$ 最小链覆盖-最大反链
题面描述 在遥远的东方，有一个神秘的民族，自称\(Y\)族。他们世代居住在水面上，奉龙王为神。每逢重大庆典，\(Y\)族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把\(Y\)族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口，并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然，水P3974 [TJOI2015]组合数学
题目描述 为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。 但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至组合数学
题目描述 为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。 但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至