【学习笔记】从 CTSC 2008 祭祀谈起的最长反链及最小链覆盖相关问题的解决方法
作者：互联网
本题的题意：给出一个 DAG，求最长反链。
Dilworth 定理：偏序集上最长反链的长度等于最小链覆盖中链的数量。
先做一遍传递闭包，使得 DAG 中 \(x<y\) 的定义"从 \(x\) 向 \(y\) 有连边"变为了"从 \(x\) 出发能够到达 \(y\)“，此时就可以直接套用 Dilworth 定理了。
1. 求解最小链覆盖大小
将所有的点拆为 出（\(x_0\)）、入（\(x_1\)） 两点，形成一个二分图。对于 DAG 上的 \(x<y\)，连边 \((x_0,y_1)\) 。因为每个出点只能匹配一个入点，每个入点只能匹配一个出点，此时求该二分图的最大匹配。
令最大匹配大小为 \(m\)，假设最开始每个点自成一条链，接下来每匹配一条边那么最小链覆盖大小就减一，所以最小链覆盖大小为 \(n-m\) 。当然从最大匹配可以还原出最小链覆盖。
2. 构造最长反链方案
这个部分较复杂。
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Step 1. 求出最小顶点覆盖
结论：最小顶点覆盖大小等于最大匹配大小。
考虑这么一个构造最小顶点覆盖的方法：选取右侧没有匹配点开始 dfs，从右侧往左侧 dfs 走非匹配边，左侧往右侧走匹配边。
那么最小顶点覆盖的方案为：左侧被访问过的点，右侧没被访问过的点。
接下来考虑证明两个问题：1. 最小顶点覆盖大小 等于 最大匹配大小。 2. 这样选出来的点集的确覆盖了所有的边。
先考虑第一个问题：可以发现右侧留下的点一定都是匹配边端点，并且其匹配的左侧点一定没有被访问过（否则右侧的这个点也会被访问），不会留下。同时可以发现左侧留下的点一定都是匹配边端点（否则出现一组新的匹配），并且其匹配的右侧点一定被访问过。
也就是说，留下的肯定都是匹配边端点，并且每条匹配边恰好留下一个端点，所以有 最小顶点覆盖大小 等于 最大匹配大小 。
接着考虑第二个问题：讨论每一条边，如果这条边的左侧端点被访问过，或者右侧端点没被访问过，那么这条边必定被覆盖。接下来只需要讨论"左侧端点没被访问过，右侧端点被访问过"这种边了，可以证明这种边不存在：
- 假设右侧端点是非匹配点，那么没访问左侧端点的情况只有该边是匹配边，与假设矛盾。
- 假设右侧端点是匹配点，那么一定是从左侧的另一条匹配边访问过来的（如果从当前边访问过来显然矛盾），也就是说，当前边一定是非匹配边，所以左侧端点必然被访问，与条件矛盾。
所以所有遍都被覆盖了，我们选出来了最小顶点覆盖。
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Step 3. 求出最大独立集
结论：最大独立集、最小顶点覆盖互为补集。
考虑最小顶点覆盖的补集中的一个点，与其相邻的点必须都在最小顶点覆盖中，才能够覆盖所有相邻的边。这句话的意思是，最小顶点覆盖的补集中的点两两不相邻。
同时考虑最大独立集的补集中的一个点，与该点相邻的点中一定有最大独立集中的点，为了覆盖这之间的边，该点必须属于最小定点覆盖。
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Step 2. 通过最大独立集构造最长反链方案
考虑这么一个做法：对于每个 \(x\)，如果 \(x_0,x_1\) 都在最大独立集中，那么将 \(x\) 加入到反链中。
注意到因为最小顶点覆盖大小为 \(m\)，所以最大独立集大小为 \(2n-m\) 。同时令构造出的反链大小为 \(t\)，那么最大独立集（记为 \(S\)）大小为 \(t+\sum\limits_{x}[(x_0\in S)\lor (x_1\in S)]\)，注意到因为后面部分不超过 \(n\)，所以可以得到 \(t\geq n-m\) 。
也就是说 \(t\) 不小于 \(n-m\) 。事实上，根据 Dilworth 定理，\(t\) 恰好为 \(n-m\)，我们构造出了最长反链方案。
3. 完成本题的第三问
本篇文章的主体内容到这里就结束了，接下来是"祭祀"一题第三问的做法。
其实只需要删除该点以及相邻的点，然后再求最大反链即可，如果大小差为 \(1\) 说明可以。时间复杂度为 \(O(n^2m)\) 。
标签：匹配,覆盖,CTSC,最小链,访问,端点,顶点,2008,反链 来源： https://www.cnblogs.com/qiulyqwq/p/15224828.html