有负权图上的最短路算法 (Goldberg, 1995)

最近听说有了一个有负权图上的 \(O(m\log^8 m \log w)\) 算法, 感觉非常厉害, 于是觉得先来研读一个早些的工作. 如果有可能的话再尝试研读新的算法!

我们知道, OI 中常用的在负权图上的 Bellman–Ford 算法可以在 \(O(nm)\) 时间内计算一个有负权图的单源最短路径, 或者确定这张图存在一个负环. 而这篇文章给出了一个 \(O(\sqrt n m \log w)\) 的做法, 其中 \(w\) 是负权边的绝对值上界.

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这是本文涉及的第一个技术, 其实也就是大家熟知的最短路重赋权方法. 如果我们有一个 \(p\) 数组, 满足

\[p(v) \leq p(u) + w(u, v), \]

那么新边权

\[w_p(u, v) = w(u, v) + p(u) - p(v) \]

是非负的, 我们可以使用经典的 Dijkstra 算法求解. 显然在没有负环的时候, 这样的 \(p\) 数组是存在的, 因为最短路数组就满足这个条件.

但是这一转化的另一点好处在于, 我们求出这一 \(p\) 数组的条件是宽了很多的, 具体的设计将在后面看到.

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这是本文涉及的第二个技术, 这个对于学过弱多项式复杂度费用流的同学来说可能比较熟悉了. 对于一张图 \(G=(V,E)\) 上的权值 \(w: E \to \mathbb Z\), 显然将所有边权除以 \(2\) (不考虑取整的时候) 不影响答案和负环的存在性, 然后将权值增加, 不存在负环的图肯定依然不存在负环. 那么我们考虑先对于权值为 \(w' = \lceil w / 2 \rceil\) 的图计算出 \(p\) 数组, 首先如果 \(w\) 里面所有数都是偶数, 那就有 \(w = 2w'\), 自然 \(2p\) 就满足要求, 但实际上有些要将 \(2w'\) 减去 \(1\), 我们就是需要对此进行解决. 我们知道, 根据 \(p\) 数组的定义, 我们必然有 \(d(v) \leq w'(u, v) + d(u)\), 也即 \(w'(u,v) + d(u) - d(v) \geq 0\). 我们考虑重赋权

\[w_p(u, v) = w(u, v) + 2(d(u) - d(v)), \]

则必有 \(w_p(u, v) \geq -1\). 那么我们的目标就是: 通过对 \(p\) 进行适当的调整, 让 \(w_p\geq 0\). 我们将问题变成了 \(\log w\) 轮满足 \(w\geq -1\) 的情况. 那么只要我们设计出一个对此在 \(O(\sqrt n m)\) 时间内调整 price 的方法, 就完成了最初的承诺.

简单算法

我们先把目前 \(w \leq 0\) 的边拿出来, 称其为 \(G_p\). 若 \(G_p\) 的 SCC 里有负边, 那这其实就直接说明了负环的存在性, 我们可以直接报告了. 接下来, 我们考虑缩点后的图. 我们称一个顶点集合是闭的当每个 \(v\in S\) 都有 \(v\) 通过 \(G_p\) 可达的边都还在 \(S\) 内部, 我们观察如果将这样一个 \(S\) 中的所有点的 \(p\) 值减去 \(1\), 会发生什么.

• 对于 \(S\) 内部的边, 显然没有影响, 因为两端的 \(p\) 值变化量相同.
• 对于 \(S\) 连出的边的边权会减少 \(1\), 但是注意到连出的边此时皆为正的, 这不会产生新的 \(-1\) 边, 但有可能会加入新的 \(0\) 边.
• 对于连入 \(S\) 的边, 边权加 \(1\), 这说明连入 \(S\) 的负边会全部消失, 这是这个操作的关键用途.

如果我们将 \(S\) 取为某个点 \(v\) 通过 \(G_p\) 能到达的所有点 (除去其自身), 那么操作之后, \(v\) 点连出的所有负边都会被解决, 我们只需要 \(O(n)\) 轮就可以解决所有的 \(-1\) 边了!

不幸的是, 每次操作之后, 图的结构会有不小的改变, 因为正权边变小之后会产生一些新的 \(0\) 边, 我们需要继续缩点判负环. 这样的话我们就得到了一个 \(O(nm)\) 的单轮算法.

但事实上, 我们距离最终的算法已相去不远, 这只需要我们用到一点组合观察, 并针对性的设计上述的操作方式.

最终算法

我们记有 \(-1\) 作为出边的点集为 \(K\), 在 \(G_p\) 上的可达性作为偏序, 那么我们考虑能否通过一种精心设计的操作一次性干掉 \(K\) 中的多个点.

反链

对于 \(K\) 中的一条反链 (antichain), 也即这些点两两不能到达, 那么令 \(S\) 为这些点在 \(V\) 上到达的点集之并, 我们对 \(S\) 进行操作, 那么这些点的出边都会被得到解决. 这和上述提到的做法并无不同, 复杂度为 \(O(m)\).

链

对于 \(K\) 中的一条链 (chain), 也即顶点 \(v_1, v_2, \dots, v_r\) 满足 \(v_i\) 可以通过 \(G_p\) 到达 \(v_{i+1}\), 记 \(S_v\) 是 "\(v\) 直接通过 \(-1\) 边到达的点在 \(G_p\) 中的可达点集之并", 那么我们考虑如果按照 \(i\) 从大到小的顺序操作, 会发生什么.

在还完全没有进行操作的时候, 显然我们是有 \(S_{v_1} \supset S_{v_2} \supset \dots \supset S_{v_r}\) 的, 那么一开始我们对 \(S_{v_r}\) 进行操作, 这会导致有些边的边权发生变化, 有的由正变 \(0\), 也有的由 \(0\) 变正. 更靠前的 \(S_{v_i}\) 有可能变大的同时变小, 但它依然包含现在的 \(S_{v_{i+1}}\), 这是因为它依旧能到达 \(v_{i+1}\), 并且原先 \(v_{i+1}\) 连出的 \(-1\) 边现在是 \(0\), 仍在 \(G_p\) 内部.

但是有没有可能我们操作 \(S\) 之后 \(v_i\) 并没被解决呢? 注意, 这个情况说明 \(S_{v_{i+1}}\) 里面有点可以到达 \(v_i\), 那负环就出现了.

这个操作相对而言维护起来就需要一点技巧了, 需要动态检查哪些边降为了 \(0\), 这可以通过基数排序做到 (这些边一开始的权值不能超过 \(n\), 所以基数排序和值域无关). 这样就做到了 \(O(m)\).

Dilworth

现在你有一个链上的算法, 你有一个反链上的算法. 现在让我们来过最后一关.

由 Dilworth 定理, 链和反链必有一者 \(\geq \sqrt{|K|}\). 因此迭代 \(O(\sqrt {|K|})\) 轮后我们就完成了.

等等, 我们是不是还得够快的找到这么一条链/反链啊?

在 DAG 上 DP 可以求出每个点连出的最长链, 然后对所有极大点构成的反链进行检查即可, 这样即可在 \(O(m)\) 时间内找到.

综上, 一轮总共时间为 \(O(\sqrt n m)\), 算法的总时间为 \(O(\sqrt n m \log w)\).

实现

待实现...

标签：1995,sqrt,负环,算法,Goldberg,操作,反链,负权,我们
来源： https://www.cnblogs.com/Elegia/p/16122335.html