那些让人眼前一亮的数学

我为什么选择了学习数学，一部分原因是由于我看到了以下这些让人眼前一亮的数学，其实这些都是本科水平能够理解的定理，只是也许课本中没有提到。

• 在北京把北京地图随便往地上一摊，总存在地图上至少一点，它对应的位置正是它所处的位置。其实不需要摊开，捏成一团也行，只要不撕破地图。 （Banach不动点定理，分析）
• 地球上总是有一点没有风，或者说人的头发总会至少有一个漩涡。（hairy ball theorem，拓扑学）
• 赤道上总有一对对径点两地温度相同。地球上总有一对对径点，两地的温度和气压分别相等。（Borsuk-Ulam定理，拓扑学）
• 没有办法通过尺规作图做出一个正方形使得其面积和给定的圆一样。（Galois理论，代数学）
• 不存在一套程序性的办法用尺规作图三等分任意给定的角。（Galois理论，代数学）
• 五次以上的一元多项式方程不存在通用求根公式。（Galois理论，代数学）
• 在绳子上的蚂蚁喝醉了酒左右乱走它有100%的机率回到出发点；在地面上的醉汉随便走也有100%的机率回到原点；不幸的是在天空中喝醉了酒的鸟乱飞回到原点的机会大概只有34%。 （Polya随机游走常数，概率论）
• 2的n次幂的十进制表达的首位是数字k的概率是lg(k+1)-lg(k)。（遍历理论）
• 无论假定了什么条件，总存在一个命题，没办法证明它是对的也没办法证明它是错的。然而，前面这句话不是瞎说，已经被严格证明了。 （Godel不完备定理，数理逻辑）
• 周期三意味着混沌：闭区间上到自身的一个连续映射如果存在一个周期为3的点，那么对于不可数无穷个初始点在此函数迭代下的序列是杂乱无章的。（李天岩-Yorke定理，动力系统）
• 地球上任何一张简单地图只需要四种颜色就能够把两两相邻的地区区分开。而在环面上则需要七种颜色。（四色定理，图论）
• 这世界上的正多面体仅仅有五种。（拓扑学）
• 光滑射影三次曲面上正好有27条直线。（代数几何）
• 每个正整数都是四个整数的平方和，每个有理数都是三个有理数的立方和。（数论）
• 来源：http://staff.ustc.edu.cn/~yqliang/files/teaching.htm#thissemester

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