线性时不变系统的冲击响应和卷积

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首先解释什么是线性时不变系统(LTI system)，线性说明符合叠加原理，时不变说明无论什么时候给系统施加输入，它的输出都是相同的。

而冲激响应 h ( t ) h(t) h(t)指的是输入单位冲激信号 δ ( t ) \delta (t) δ(t)之后系统的响应，其拉普拉斯变换即为传递函数。

卷积公式如下：
x ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) h ( t − τ ) d τ x(t) = \int_{0}^{t}f(\tau)h(t-\tau)d\tau x(t)=∫0t​f(τ)h(t−τ)dτ
这就是卷积，其中f是系统的输入，h是系统的冲激响应。可以看出卷积其实是把一个函数分成无数个冲激函数，把它们在某一个时刻冲激响应的加和。卷积的运算只是乘积之和，真正令人困惑的在于一个乘积因子是 f ( τ ) f(τ) f(τ)，而另一个是 h ( t − τ ) h(t-τ) h(t−τ)。这里解释一下为什么是t-τ：τ作为时间微元对应于线性时不变系统一般在t之前，那么这个时间微元τ到时刻t的时间间隔就是t-τ，h(t-τ)也就代表着τ时刻的冲击在t时刻的残余响应。所有τ时刻的残余响应与输入的 f ( τ ) f(τ) f(τ)结合最终叠加得到的也就是在t时刻前信号的输出。离散状况下要更容易理解些。在理解卷积内涵的基础上再去学习卷积的计算方法会更有意义。一个弹簧，给它一个冲击，它会表现为震动。但是如果给它一个连续作用的变化的力，弹簧当下的震动即是过去所有震动的叠加。这是卷积的根本意思，即过去的响应会影响当下。

因此，只要我们得到一个系统的冲激响应，和任意一个输入做卷积就可以得到一个系统的输出。这也是变声器的原理，比如在浴室中敲出一个短暂的声音录下来，这个可以当做冲激响应，我们把其他的声音和这个冲激响应做卷积以后，声音听起来就像是浴室中发出的一样。另外录音的音效设置也是一样的道理，把原声和特定环境下的冲激做卷积，在加上一些其他的滤波器，就能做出特定环境的音效。

卷积的拉普拉斯变换证明：

证明方法是二重积分更换积分次序，可以看出卷积的拉普拉斯变换之后是卷积中的两个函数分别进行拉普拉斯变换之后的乘积。

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