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【连载】线性代数笔记——第二章矩阵2

作者:互联网

我是灼灼,一只初学Java的大一金渐层。
向往余秀华和狄兰·托马斯的疯狂,时常沉溺于将情感以诗相寄;追逐过王尔德、王小波的文字,后陷于毛姆和斯蒂芬·金不可自拔;热爱文学的浪潮,白日梦到底却总在现实里清醒;艳羡平静又极度渴盼奔跑的力量。
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教材|线性代数第三版(上海交通大学出版社)
内容|第二章矩阵|第三节/第四节


文章目录

第二章矩阵

2.3|可逆矩阵

逆矩阵

定义concept:

A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,st.AB=BA=En,则称矩阵A是可逆的,称矩阵B为矩阵A的逆矩阵

表示

B=A^-1;

注意

定义

A=(aij)n(n>=2)

aij在|A|中的代数余子式为Aij,则称n阶矩阵

图!【类似转置的行列式】

为A的伴随矩阵,记为A^*.

求矩阵A的伴随矩阵A^*;
方法:求出每一个代数余子式,列出A^*;
    若|A|=60【行列式的值为60】,AA^*(矩阵乘法)=数量矩阵,对角线元素恰为|A|,即
    图!
    所以AA^*=A^*A=|A|E【im】;(伴随矩阵基本性质)

定理

n阶矩阵A可逆<=>|A|!=0(充分必要条件)

A^(-1)=1/|A|·A^*.

----------求逆矩阵的伴随矩阵法!------------

证明:

必要性——

图!

充分性——

图!

推论:

若存在n阶矩阵B,st BA=E(或AB=E)

则矩阵A可逆,且A^(-1)=B

【注:一阶矩阵A=(a)可逆<——>|A|=a!=0,A^(-1)=1/a】

证明

若AB=E,则|AB|【=|A||B|】=|E|=1,所以|A|!=0,所以矩阵A可逆。

定义

行列式不为零的矩阵称为非奇异矩阵;|A|=0,奇异矩阵。

求逆方法——A^*

:(求逆)

n阶矩阵A满足:A^2-3A-5E=0,证明:A+2E可逆,用矩阵A表示A+2E的逆矩阵。

解-

(A+2E)(A-5E)=-5E,两边同除以(-5),得到(-1/5)(A+2E)(A-5E)=E,可求得逆矩阵。

设A为n(n>=2)阶非零实矩阵,A*=AT,证明A可逆。

由A^*=A^T得,Aij=aij,i,j=1,2,3.....n;
因为A不是0矩阵,所以存在aij=!=0,st

图!

克拉默法则的另一种叙述

AX=B,A为系数列矩阵,X为未知数列矩阵,B为常数列矩阵;

若A=(aij)n可逆,则X=A^(-1)B=...

图!

克拉默法则推广

设A为n阶已知可逆矩阵,B为n×k已知矩阵,AX=B,则存在唯一解X=A^(-1)B;

若C为k阶已知可逆矩阵,且AXC=B,则存在唯一解X=A(-1)BC(-1)。

利用求逆方法求解线性方程组

可逆矩阵的性质

设A,B,A1,A2…Ak为n阶可逆矩阵,则

图!

设A,B,A+B均可逆,证…

图!

伴随矩阵的性质

设A为n阶可逆矩阵,(n>=2)

图!

2.4|分块矩阵

子块,大写A,下标与所处位置有关。

分块矩阵的相等

s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
Ast,Brq;

分方法一样,两矩阵相等【同型且相等】

则A=B。

分块矩阵的运算

分不分块运算结果相同。

1.分块矩阵的加法与数乘
A=(Aij)s×t,B=(Bij)s×t;

Aij,Bij同型矩阵,s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
A+B=(Aij+Bij)s×t,

kA=(kAij)s×t.[乘到每个块上,再针对每个块乘]
2.分块矩阵的乘法

乘法法则

对于两个可以相乘的矩阵,

A的列分法=B的行分法,A行B列无所谓
遵循法则随便切~
  1. A按列分,B不分: (ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4)(…图!)=(ɑ1-ɑ3+ɑ4,-ɑ1 + ɑ2)
  2. A不分,B按列分=(β1 β2),行列式=A(β1 β2)。
  3. A的列=B的行—>保证子块能乘;

几种常用分块:

实例

  1. A列分块,B不分 C的列可由A的列线性表示。

  2. B列分块,A不分

  3. A行分块,B不分

  4. B行分块,A不分

    ​ C的列可由B的行线性表示。

3.分块矩阵的转置

A = ( A i j ) s × t A=(Aij)s×t A=(Aij)s×t

A T = ( B i j ) t × s = ( A T j i ) t × s A^T=(Bij)t×s=(A^Tji)t×s AT=(Bij)t×s=(ATji)t×s

整体块转置,再把每个小块转置。

4.分块对角矩阵及其运算

称A=

图!

为分块对角矩阵。

乘法(矩阵规则)性质

图!

次对角

反转+取逆;

示。

3.分块矩阵的转置

A = ( A i j ) s × t A=(Aij)s×t A=(Aij)s×t

A T = ( B i j ) t × s = ( A T j i ) t × s A^T=(Bij)t×s=(A^Tji)t×s AT=(Bij)t×s=(ATji)t×s

整体块转置,再把每个小块转置。

4.分块对角矩阵及其运算

称A=

图!

为分块对角矩阵。

乘法(矩阵规则)性质

图!

次对角

反转+取逆;

在这里插入图片描述

未完!

如果对你有帮助的话不要忘记一键三连噢~
谢谢鸭~

初次编写于2021/3/29日。

标签:Bij,连载,分块,转置,可逆,矩阵,线性代数,Aij
来源: https://blog.csdn.net/weixin_52777510/article/details/115310938