费马小定理和伪质数

费马小定理：

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）

证明一个数字是质数：

如果r为质数，则对于所有的整数 1 <= z <= r-1 ，z^(r-1) ≡1（mod r）

也就是说，如果存在z使得z^(r-1) !≡1（mod r）,则r是合数

存在两种这样的z：

1. trivial fermat witness: gcd(z，r)>1，即z是r的一个因数，如果这样的z存在，我们已经不用去做fermat test，因为z已经可以整除r，所以称为trivial。

2. non-trivial fermat witness: gcd(z，r)=1，z，r互质。如果一个合数没有non-trivial fermat witness，则称为伪质数（pseudo prime/Carmichael numbers）。341是最小的伪质数。

　　伪质数的存在说明了：满足费马小定理的也不一定是质数。满足费马小定理是成为质数的必要不充分条件。

标签：费马,质数,fermat,trivial,定理,witness
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