首页 > 其他分享> > 对偶理论

对偶理论

2021-03-11 12:59:49 作者：互联网

原文视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Bf4y1m7eM?p=2&spm_id_from=pageDriver

在 $x\in X$ 的范围内，对于给定的 $\lambda,\mu$ ，求关于x函数的最小值

S 是 X的子集，因此子问题的最小值肯定不会比在原问题中找到的最小值小

$\lambda_i\cdot g_i(x)\leq0,\:\:\:\:\mu_i \cdot h_i(x)=0$

对于任意 $\lambda,\mu$ ，必有 $d(\lambda,\mu)\leq v(p)$ ，即 $d(\lambda,\mu)$ 是 $v(p)$ 的下界！

拉格朗日对偶问题

在所有对偶问题得到的下界中，找到最大值

对偶问题：先对拉格朗日函数求最小，再求最大

先求最大，再求最小是原问题

几何解释

原问题：在G集合中，在y<0时，求 Z 的最小值

对偶问题： 先计算原问题拉格朗日函数的最小值（几何意义为，直线的最小截距）

再最大化这个截距，（通过减少斜率，将截距最大化）

线性规划的对偶问题

对偶拉格朗日函数是原问题的下界

弱对偶定理

另一种表示方法：

$d(\lambda,\mu)$ 的最大值是v(D)， v(p)是f(x)的最优解（最小值）

强对偶定理

v(p) = v(D)

证明：

（p,q均为大于0的任意数，若 $\lambda,\lambda_0$ 不大于0，关系无法成立）

矛盾！（不能够取 $\lambda_0=0$ ）

KKT条件：

标签：拉格朗,函数,截距,理论,问题,最小值,对偶
来源： https://blog.csdn.net/qq_42518956/article/details/114646155