对于背包问题的状态表示:
F[i,j]通常表示为对于不超过i个物品，背包容量不超过j的最大价值
n表示物品数量,m表示背包容量。

01背包问题

01背包问题

代码模板

  for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j-v[i]>=0) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }

可优化为（背包的优化是在其代码基础上优化的，使其优化后的代码和原来代码是等价的）

 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- ) 
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 让其从大到小一定算的是f[i-1,j-v[i]]
                                              如果让m从小到大算就会覆盖掉f[i-1，j-v[i]]其实算的是f[i，j-v[i]]

完全背包问题

完全背包问题
与01背包问题不同的是物品可无限次使用

代码模板

 for(int i=1;i<=n;i++)
 	for(int j=0;j<=m;j++)
 		for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
 			f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
 	

上述方法时间复杂度较高
此处有一种优化
已知

可发现

故代码可优化为

 for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
           {
               f[i][j]=f[i-1][j];
               if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
           }

进而优化为

 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); //再算f[j]时，f[j-v[i]]一定被算过了，
                                                 所以算的是f[i,j-v[i]]和01背包问题优化有所区别。

多重背包问题

此问题相较于完全背包问题在于物品的数量有所被限制。

多重背包问题1

代码模板（只用于数据范围较小的时候）

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

多重背包问题优化（二进制优化）

多重背包问题2

此处有较大的数据范围
此处应提一种优化方式

类比于完全背包问题的优化，可发现此处f[i,j-v]中多了一项，因为完全背包问题中到sv时一定是背包装不下的时候，可多重背包问题不一样，因为有限制，可能到sv的时候背包仍能装下
故不能用此优化方式

已知
假设s=1023 那么s以内的数一定可以用 1,2,4,8……,512中任何数相加所表示，那么完全可以把多重背包问题转化为01背包问题。
代码模板

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s)               //
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s > 0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }                             //  此处将一个数分解为其他数
    }
                  //转化为01背包问题
    n = cnt;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

分组背包问题

将物品分为很多组，每组只能选一个

分组背包问题
状态表示：从前i组物品中选,且总体积不大于j的所有选法

代码模板

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= 0; j -- )
            for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;

标签：cnt,背包,九讲,int,代码,问题,优化
来源： https://blog.csdn.net/qq_34026804/article/details/113790329