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【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -3.实数系的连续性与数列极限

作者:互联网

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部分内容来自电子科技大学,北京大学,清华大学,北航,复旦大学等的教材和课件

实数系的连续性


1. 封闭

   封闭的概念: 若有一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后,所得的结果仍属于这个集合,我们称该集合对这种运算是封闭的.


2. 上确界和下确界

2.1 上确界

   设U的最小数为 β \beta β ,就称 β \beta β 为数集 S S S 的上确界,即最小上界,记为

    β = s u p S \Large\beta= sup S β=supS

  上确界有以下两个性质:
   1. β \beta β是数集 S S S 的上界; ∀ x ∈ S , 有 x ≤ β ; \forall x \in S,有 x \leq \beta; ∀x∈S,有x≤β;
   2. 任何小于 β \beta β 的数不是数集 S S S 的上界: ∀ ϵ > 0 , ∃ x ∈ S , 使 得 x > β − ϵ ; \forall \epsilon >0, \exists x \in S,使得x>\beta -\epsilon; ∀ϵ>0,∃x∈S,使得x>β−ϵ;

2.2 下确界

   设L的最大数为 α \alpha α ,就称 α \alpha α 为数集 S S S 的下确界,即最小下界,记为

    α = i n f S \Large\alpha= inf S α=infS

  上确界有以下两个性质:
   1. α \alpha α是数集 S S S 的下界; ∀ x ∈ S , 有 x ≥ α ; \forall x \in S,有 x \geq \alpha; ∀x∈S,有x≥α;
   2. 任何小于 α \alpha α 的数不是数集 S S S 的下界: ∀ ϵ > 0 , ∃ x ∈ S , 使 得 x < α + ϵ ; \forall \epsilon >0, \exists x \in S,使得x<\alpha +\epsilon; ∀ϵ>0,∃x∈S,使得x<α+ϵ;

2.3 确界存在定理:

    非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界。


数列极限

概念引入:求圆的面积

在这里插入图片描述

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . ⇒ A_1,A_2,A_3,...,A_n,...\Rightarrow A1​,A2​,A3​,...,An​,...⇒无穷次逐步逼近过程


1.数列定义

   按自然数编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . x_1,x_2,x_3,...,x_n,... x1​,x2​,x3​,...,xn​,...

   称为无穷数列,简称数列。记作{ x n x_n xn​}


2.数列极限的定义

  给定数列{ x n x_n xn​},a为常数,如果对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0,都存在一个正整数N,使n>N时,成立| x n x_n xn​-a|< ε \varepsilon ε,

则称当n趋向于无穷大时,数列{ x n x_n xn​}以a为极限。记作:

lim ⁡ x → ∞ x n = a \Large\color{red}\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a limx→∞​xn​=a

  如果数列没有极限,就称数列是发散的。

注意

(1)定义中的 ε \varepsilon ε刻画了 x n x_n xn​与a的逼近程度,定义中的 ε \varepsilon ε可以限制 ε ≤ a \varepsilon \leq a ε≤a.可以记作成N( ε \varepsilon ε),但不能看作是 ε \varepsilon ε的函数,因为 ε \varepsilon ε确定时,N可以不唯一。

(2)定义中的N和 ε \varepsilon ε有关,仅要求存在,一般 ε \varepsilon ε越小,N越大。

2.1 逻辑符号表述

ε \varepsilon ε -N 定义: lim ⁡ x → ∞ x n = a ⇔ \lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a \Leftrightarrow limx→∞​xn​=a⇔
∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , \forall \varepsilon>0,\exists N>0, ∀ε>0,∃N>0, 使n>N时,恒有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε.
在这里插入图片描述


3.收敛数列的性质

3.1 有界性

定理1:收敛的数列必定有界

3.2 唯一性

定理2:每个收敛的数列只有一个极限

3.3 保号性

   (1)设 lim ⁡ x → ∞ x n = a > 0 \lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a >0 limx→∞​xn​=a>0 则 ∃ N > 0 , \exists N>0, ∃N>0,当n>N时有 x n > 0 x_n>0 xn​>0.

   (2)设 lim ⁡ x → ∞ x n = a < 0 \lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a <0 limx→∞​xn​=a<0 则 ∃ N > 0 , \exists N>0, ∃N>0,当n>N时有 x n < 0 x_n<0 xn​<0.


4.数列收敛性的判别准则

  单调有界,必有极限

标签:varepsilon,确界,1.1,...,数集,数学分析,xn,数列
来源: https://blog.csdn.net/fsdaewrq/article/details/105495175