圆锥曲线 小整理
作者：互联网
写这个东西的目的当然是为自己整理一下（高中数学）圆锥曲线的一些重点内容数学白痴在高考中照样还是被虐杀。
顺便吐槽一下，解析几何这个东西真的是反人类，几何画板移几下就得出的结论，到考场上却十分考验计算能力，列一些长且缺少意义的式子，并祈求自己中间整理式子的时候没有笔误和看错。（纯爆论）
圆锥曲线的最基本的定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数 $ e$（离心率）的点的轨迹。
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\(e>1\) ：双曲线 或其中一支。
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\(e = 1\) ：抛物线。
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\(0<e<1\) ：椭圆。
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\(e=0\)：圆或点。
共性：
设除抛物线以外的圆锥曲线为 : \(C :\frac{x^2}a +\frac{y^2}{b}=1\) 默认情况下中心为原点，或 \(C:Ax^2 +By^2+Dx+Ey+F=0\)。
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对于除抛物线以外的曲线，有 \(k_{ac} \times k_{bc} = -\frac ba\)，其中 \(a,b\) 关于曲线的中心对称。反之 分别过两定点的直线斜率乘积为定值可以反过来定义该曲线（要去掉一些点）。常见的套路为连接弦中点和曲线中心得到一些性质。
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对于 \(C\)外（存在切点）一点 \(P(x_0,y_0)\) ，过 \(P\) 的切点弦的直线方程为 \((Ax_0)x + (By_0)y+D\frac{x_0+x}2 +E\frac{y_0+y}2+ F=0\)。特别的，若 \(P\) 在 \(C\) 上，则该直线为切线方程。
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\(c^2={\max(a,b)-\min(a,b)}\)，\(e=\frac{c}a\)。
个性：
圆：
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圆只有两个定义，第二定义即为所谓的阿波罗尼斯圆，到两个点的距离之比为定值。可以认为，如果一个方程里面包含 \(x,y\) 的最高项都为二次幂且系数相等，则可以认为这个图像是圆（或不存在）。
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过圆心垂直于一条弦的直线平分这条弦 \(\to\) 注重套路化地过圆心作垂线。
椭圆：
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第一定义比较 \(\rm low\) ，第二定义为：到直线 「准线 \(x=\pm \frac{a^2}c\) 」和定点 「焦点 \(F(\pm c,0)\)」 的距离之比为 \(e \in (0,1)\) 的点的轨迹。
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焦半径为 \(L\) 有 \(L+\frac L e =\frac{b^2}{c}\)。
双曲线：
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双曲线存在渐近线，对于 $x\to \infty $ 方程中的常数项被忽略 ，即渐进性方程为 \(\frac {x^2}a + \frac {y^2}b=0\)。到两个焦点的距离之差分别取正和负 → 分别取到双曲线的其中一支。
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第二定义与椭圆相似，只是 \(e \in (1,+\infty)\) 。
抛物线：
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\(C:y^2=2px\) 中，\(F(\frac {p}{2} ,0)\) 和 \(x=-\frac p2\) 才是焦点和准线。
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焦半径的角度表示 \(L=\frac p{1\pm \cos θ}\) ，焦点弦 \(AB\) 的长 \(|AB| = \frac {2p} {\sin ^2 θ}\)，\(∠AOF=∠BOF\)。
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\(l\) 交 \(C\) 于两点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，有 \(4x_1 x_2=p^2,y_1y_2=-p^2\)，\(k_l=\frac{2p}{y_1+y_2}\)。
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同上 ，若 \(∠AOB=\frac\pi2\) 则有 \(l\) 过定点 \(M(2p,0)\) 。
上面这些也不知是否全部都显然，至少以我的水平不是很能看出来，不过确实很好推，算是二级结论吧。
技巧：
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与焦半径有关可以考虑用第二定义列关系式。
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若有形如 \(∠F_1PF_2\) 的值确定，要使用余弦定理建立方程。
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注意在焦点三角形中进行建立关系式。
标签：直线,方程,frac,定义,双曲线,整理,圆锥曲线 来源： https://www.cnblogs.com/s1c-blog/p/14288879.html