无理数究竟是什么？连续性公理的产物？——读戴德金之二

标题无理数究竟是什么？连续性公理的产物？——读戴德金之二

人类的进步轨迹，很大程度上可以从数学，特别是初等算术中的数字演化中看出点门道。虽说是地理大发现开启了世界的历史，但世界历史的进展似乎总是和算术的进步相关联。从时间节点来看，在15世纪开始航海时代的时候，恰好也是现代算术理论刚刚启动的年代。用美国学者丹齐克的话来描述，现代的算术，其历史还不到四百年。丹齐克出版那本《数 科学的语言》一书的时间是1930年，已经时过近百年矣。这岂不是在表明，现代算术的历史还不到500年么？大概和地理大发现时代处在同一个时间窗口。
而算术理论中的无理数，为这个数字类型建立起理论基础，实际上不过二百年而已。这正如另一本科普著作《无理数的那些事儿》所言，算术理论创新的年代，恰好是1872年那一年。正是在那一年，德国有四部重要的无理数论著同时面世，这一年由此被作者称为“无理数之年”。大概可以说，算术理论从这一年起，在欧洲大陆开始创立自己坚实的理论基础。而在这个时间之前不到20年，大致在1850年代，英国人布尔把数学和逻辑巧妙的结合起来，开创了数理逻辑的新时代。

为算术理论奠定理论基础，戴德金的著作功不可没。手头的《数论随笔》（essays on the theory of numbers)一书，正是铭刻戴德金贡献的一个纪念碑。他在这个随笔中的第一篇文章《连续性与无理数》（continuity and irrational numbers），正好是发表在1872年，属于那个“无理数之年”中，出版的四部著作中的一本。该文用一个日常语词“切割”（cut），第一次给无理数一个可以说逻辑上完整的定义。这为其后自然数的公理化系统准备了理论条件，进而为现代逻辑的进一步发展，准备了条件。
戴德金的著作，为我们勾画了有理数和直线的类似，更重要的，他让我们用切割来理解无理数。
《连续性与无理数》

标题一、有理数之数三法则与直线上之点三法则

也许是人类的计数行为，也许是上帝的恩典，给这个世界创建了正整数的一个无限系列。这个无限的数字链条，以及为这个数字链条而构建的加减乘除四则运算，随之就成为人类一个格外有用的工具。它简直就是人类取之不尽、用之不绝的智慧之源和财富之源。
自然数，升为整数，整数，升为有理数。人类在有了自然数之后，为满足对于新数字的四则运算，依据固本原则，不断扩充数字类型的结果，到戴德金那个时代，就有了一个相对确定的有理数系列，这个有理数系列，可以用符号R来表示。
我们用a，b表示R中任意一个数字，为了陈述符号a和b的相等，也就是它们是同一个有理数，我们可以表示为a=b，也可以表示为b=a。而表示两个有理数a，b为不同的有理数，这个事实表现出的似乎是，a-b的结果或者是一个正数，或者是一个负数。结果为正数的情形可以表示为a>b，或者b<a。而结果为负数的情形，b-a就有一个正数值，由此可得b>a，或者a<b。对上述现象的考察，可以发现，以下三个法则是成立的。
法则1：若a>b，并且b>c，那么a>c。无论何时，a和c是两个不同的数，那么数b大于其中一个，小于其中另一个。
法则2：若a，c为两个不同的数，则存在无穷多的不同数位于a，c之间。
法则3：如果a是任意有限数，则R的所有数字会分为两类，A1和A2，其中每一类都含有无限多的个体；类A1含有所有小于数字a的a1…，而类A2则含有所有大于数字a的a2…，数字a本身则可以随你心愿放进第一类或者第二类，分别作为第一类最大的数，或者第二类最小的数。每种情形中，系列R分为A1和A2，这就使得第一类A1的任意数，总是小于第二类A2的任意数。
人类智慧之巧妙，在于对数的思考，可以是数字本身，也可以延展到数字之外。历史上的突然一天，数字和几何图形天然地结起了姻缘。
从16世纪起，对数字的思考和对几何图形的思考，形成了一个对应性的东西。有理数系列R被表达为几何上一个单一维度的直线，这条直线可以用符号L来表示。这里的单维度是指：它在直线L上两个对立方向上的扩展是无限的。用单维度这种表达方式，这意味着，我们是在借用来自几何学的观念来表达系列R，但恰恰因为这个借用，必然要清晰地产生一个相应的纯粹算术性质。这似乎在显示，有理数的算术，需要有理数之外的观念来说明。而数学历史上对于有理数的理解，的确借用的就是几何直线上点的观念。
一一对应

有理数的性质，可以联想到一条直线L上的点位置，它们真还有某种对应关系。如果一条直线用左右来分，且p和q为直线上两个不同的点，则有，或者p位于q之右，自然同时q位于p之左。或者反过来，q位于p之右，自然同时p位于q之左。如果p和q为直线上两个不同的点，仅只有以上两种情形，第三种情形就是不可能的。相关于这种位置上的区别，上述直线上的点，就有以下法则成立，也是三条。
法则1：若p位于q之右，同时q位于r之右，则p位于r之右。我们就说，q位于点p和r之间。
法则2：若p，r为两个不同的点，那么，在p和r之间，总是存在无限多的点。
法则3：若p，r为两个不同的点，那么，所有L中的点分为两类，P1和P2，其中每一类都含有无限多的个体；类P1含有所有位于p点左向点的p1…，而类P2则含有所有位于p点右向点p的p2…，点p本身则可以随你心愿放进第一类或者第二类，分别作为第一类最右边的点，或者第二类最左边的点。每种情形中，直线L分为P1和P2两部分，这就使得第一类的任意点总是位于第二类任意点的左边。
有理数与直线上点的这种类似，早就众所周知。当我们选择直线上的一个点作为有定的原点或者称为零点0，并且给定一个有定单位来对分段予以测量的时候，这个类似就成为一个实实在在的对应。借助于每一个有理数都必定有一个对应的点，我们就可以规定原点0的右边或者左边或者为正数，或者为负数，由此我们就获得一个有定的节点p，把这个节点和某个数a相对应；有理数零对应于点0。这样，每一个R中的数字a对应于一个且仅仅一个L直线上的点p。对应于两个点p，q的两个数a，b，如果a>b，则p位于q之右。而前述有理数的法则1，2，3，也几乎完全对应于直线点的法则1，2，3。

标题二、直线的连续性和数的连续性

如果继续对直线L上的点和有理数系列R中的数字进行比较，古希腊人早就发现，一个正方形的边长数和它的对角线所表示的数，把它们显示在直线L上，那是不可公度的。有理数作为可表示为整数比的数，一下子就出现了异类，有理数虽然可以与直线上的点一一对应，但直线上的点有可能不是整数比，也就是不是有理数。于是我们看到，直线L上的点，它是无限的，有理数R中的数，它也是无限的。但直线L上的点，显然比有理数R的数要多得多。有理数与有理数之间，如果放在直线上看，它们是有缝隙的，不连续的。那么，直线L在什么意义上具有连续性呢？
德国的戴德金是这样思考的：
他仔细考虑这个问题很长时间，梦里寻它千百度，最终发现了正在寻找的东西。也许，这个发现没有什么了不起，不同的人会有不同的评估，但一般会认同，其实质非常具有常识性。如果关注到这样的事实：直线的任意p点把这条直线分为两部分，使得其中的一个部分上的每一个点位于另一部分上每一个点的左边。那么，戴德金从中发现，连续性的本质应该反方向看，刚才是切割产生分类，现在则是分类产生切割。戴德金把这个反方向的观察结果，描述为以下原则：

***如果直线上所有的点落在两个类中，使得第一类的每一个点，位于第二类每一个点的左面，那么存在一个并且仅仅存在一个点，该点产生对于所有落入两个类的点的划分，直线分为两个部分的一个切割。***（戴德金《数论随笔》1872年英文版第11页）

怎么理解这个原则呢？人们既不能给这个原则的正确性拿出任何证明，实际上，也没有这个能力给出有效证明。这条线的性质假设，其实就是给出了一条公理，一条实实在在的连续性公理。我们是在假设：直线是具有连续性的，别无其它。通过这个公理，我们给这条线以连续性，通过这个公理，我们发现了连续性就在这条线上。倘若空间有一个真实的存在，它是连续的并不是一个必然，它只能依靠我们心灵的假设。而倘若空间不连续，这样的假设也是可能的。但如果我们确切地知道空间不连续，那么，没有什么东西可以阻挡我们，阻挡我们思考的力量。如果我们希望在思想中填平那些缝隙，使其成为连续的话，那么，这样的假设的确是可能的。这个填平缝隙的念头就是创建新的点个体，并且必须依据上述原则来产生这种创建。

这样，我们就有了对于新数字的创建，把直线的连续性假设原则应用到数字上来，一个切割总是把一条直线分为两部分，相对应的，也就是一个切割总是把每一个实数系列分为两组或者两个类别，完全类似于直线上的点。
于是我们看到，因为有这个直线连续性的假设性公理，这个公理就完全可以移植到数字上来，数字也可以假定为是连续的，如同一条直线一样。
数字被假定为是连续的，那么，那些被称为直线上空隙的点，移植到数字上来，会是一类什么样的数字呢？戴德金由这个假设，开始了他无理数的创建。

标题三、用无理切割创建无理数

如何才能把有理数的不连续范围R看作是完全的，即能够让数字称为连续的呢？当然是依赖创建新的数字。如同已经描述过的，每一个有理数a造成系列R分成两类，使得第一类A1中的a1小于第二类A2中的a2；这个数字a1或者是类A1中最大的数，或者是数字a2或者是类A2中最小的数。如果现在系列R任意分割形成的A1，A2被给定，它们仅具有唯一的一个特性，A1中的任意数字a1小于类A2中的任意数字a2，那么为简洁计，我们就称这样一个隔离为一个切割，并将这个切割cut记作为（A1，A2）。
我们由此就可以说，每一个有理数都产生一个切割。这个切割具有这样的性质：或者是，第一类的数字中间存在最大的数，或者是第二类的数字之间存在最小的数。反过来，如果一个切割具有这个性质，那么，借助这个最大的或者最小的有理数，切割就产生出来。
但很容易证明，存在着无限多的切割，它们并不全是用有理数产生出来。以下实例及其证明，大概可以暗示这一点。
设D是正整数，但不是整数的平方，那么，存在一个正整数λ使得

λ2<D<(λ+ 1)2。

如果我们把任意正有理数a2，它的平方>0，分配给第二类A2的范围，所有其它有理数a1，归入第一类A1，这样一种分割就形成了一个切割（A1，A2）,也就是，每一个数字a1，都比a2小。原因很清楚，如果a1=0，或者是一个负数，那么那个基点上的a1，就小于任意数字a2，因为，根据定义，这个最后的数字是正数；而如果a1是正数，那么其平方≦D，因此，a1就小于任意正整数a2，这个正整数的平方是>D的。
但这个切割，也许不是因有理数而产生。要证明这一点，必须首先证明并不存在其值平方=D的有理数。虽然这为稍知数论者所熟知，但这里仍然值得重复，以下就是使用反证法的一个间接证明：

假定：存在一个有理数x，它的平方x2=D。
证明：
如果存在一个有理数x，它的x2=D，那么，因为有理数全都可以表示为两个整数比，也就存在正整数t和u，x=t/u，满足以下方程式：t2/u2=D，即
1）：t2-Du2=0
我们还可以进一步假定，u是最小的正整数，它具有以下性质，其平方用D来乘，就可以转化为一个整数t的平方。既然可证
2）：λu<t<(λ+1)u
则数u’= t-λu是一个当然小于u的正整数。
如果我们继续设，
3）：t’=Du-λt
这里的t’同样是正整数，由此我们就有
4）：t2-Du’2=（λ2-D)(t2-Du2）=0
这和期待u的假设x2=D是相矛盾的。
所以，假设x2=D不成立，自然x为有理数不成立。
由此，每一个有理数x的平方或者<D或者>D。从这一点就很容易推出，在类A1中既不存在最大的数，在A2中也不存在最小的数。因此，这个切割就不是由有理数产生。于是，我们的切割概念就出现两种，一种是有理切割，一种是无理切割。
这两种切割的区分，依赖于我们在切割中形成的两个概念，即上组和下组概念。数值大的那一组称为上组，数字小的那一组称为下组。这两个互不相容的组别，合在一起构成了全部的有理数。由此，我们就为那个数之间存在的空隙，创建了一个新类型的数字来予以填补，使全部数字成为连续的，这个新创建的数字类型，那就是无理数。
什么是无理数？由无理切割形成的数字就是无理数，它既不属于切割后的上组，也不属于切割后的下组。因为在无理切割中，下组既没有最大元素，下组也没有最小元素，无理数的特点就是它不属于任何一组。用《数 科学的语言》一书中的一个比喻，这个比喻用在今天的党派政治纠葛中好像也十分贴切形象，它似乎在表明我们的算术理论，也有运用到实际生活中的可能。

产生有理分划的数本身是属于下组的：犹如一个政治家分裂一政党，自己参加了左翼。产生无理分划的数则完全是党外的：犹如一个争论使政党分裂，争论本身却既不属于左翼，也不属于右翼。这正如这里的无理数，虽然它惹起了分划，它却既不属于下组，又不属于上组。换句话说：在有理分划中，下组有一个最大元素，而上组没有最小元素；在无理分划中，下组既没有最大元素，上组也没有最小元素。（丹齐克著《数 科学的语言》第144页）

数的连续性假设公理基础上产生的无理数定义，为算术理论奠定了基础。这个基础的夯实，使得算术的公理化系统成为了可能。随后，很快就出现皮亚诺的算术公理化系统。在探查皮亚诺之前，继续跟踪戴德金的数论思想，继续了解数字的意义，了解无限和连续应该是一件很有趣的事情，且待一路走来。

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