模拟退火算法

     著名的模拟退火算法，它是一种基于蒙特卡洛思想设计的近似求解最优化问题的方法。

 

一点历史——如果你不感兴趣，可以跳过

     美国物理学家 N.Metropolis 和同仁在1953年发表研究复杂系统、计算其中能量分布的文章，他们使用蒙特卡罗模拟法计算多分子系统中分子的能量分布。这相当于是本文所探讨之问题的开始，事实上，模拟退火中常常被提到的一个名词就是Metropolis准则，后面我们还会介绍。

美国IBM公司物理学家 S.Kirkpatrick、C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 于1983年在《Science》上发表了一篇颇具影响力的文章：《以模拟退火法进行最优化（Optimization by Simulated Annealing）》。他们借用了Metropolis等人的方法探讨一种旋转玻璃态系统（spin glass system）时，发觉其物理系统的能量和一些组合最优（combinatorial optimization）问题（著名的旅行推销员问题TSP即是一个代表例子）的成本函数相当类似：寻求最低成本即似寻求最低能量。由此，他们发展出以 Metropolis  方法为本的一套算法，并用其来解决组合问题等的寻求最优解。

 

几乎同时，欧洲物理学家 V.Carny 也发表了几乎相同的成果，但两者是各自独立发现的；只是Carny“运气不佳”，当时没什么人注意到他的大作；或许可以说，《Science》杂志行销全球，“曝光度”很高，素负盛名，而Carny却在另外一本发行量很小的专门学术期刊《J.Opt.Theory Appl.》发表其成果因而并未引起应有的关注。

 

Kirkpatrick等人受到Metropolis等人用蒙特卡罗模拟的启发而发明了“模拟退火”这个名词，因为它和物体退火过程相类似。寻找问题的最优解（最值）即类似寻找系统的最低能量。因此系统降温时，能量也逐渐下降，而同样意义地，问题的解也“下降”到最值。

 

一、什么是退火——物理上的由来

 

在热力学上，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低；够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（亦即，退火）时，可“找到”最低能量状态：结晶。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」，quenching）时，会导致不是最低能态的非晶形。

 

如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。

 

似乎，大自然知道慢工出细活：缓缓降温，使得物体分子在每一温度时，能够有足够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可得到最低能态，系统最安稳。

 

二、模拟退火（Simulate Anneal）

 

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。

 

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。也就是说，在用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值 f，温度T演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火演算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或丢弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子Δt 、每个 t 值时的迭代次数L和停止条件S。

 

总结起来就是：

• 若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；
• 若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减 t 值的设定。

 

关于普通Greedy算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

• 普通Greedy算法：兔子朝着比现在低的地方跳去。它找到了不远处的最低的山谷。但是这座山谷不一定最低的。这就是普通Greedy算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
• 模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向低处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最低的方向跳去。这就是模拟退火。

车辆路径问题（VRP）

车辆路径问题（VRP）最早是由 Dantzig 和 Ramser 于1959年首次提出，它是指一定数量的客户，各自有不同数量的货物需求，配送中心向客户提供货物，由一个车队负责分送货物，组织适当的行车路线，目标是使得客户的需求得到满足，并能在一定的约束下，达到诸如路程最短、成本最小、耗费时间最少等目的。

2.1 带有容量约束的车辆路径问题(CVRP)

该模型很难拓展到VRP的其他场景,并且不知道具体车辆的执行路径，因此对其模型继续改进。

tic
clear
clc
%% 用importdata这个函数来读取文件 
data=importdata('rc208.txt');
cap=1000;
%% 提取数据信息
vertexs=data(:,2:3);                %所有点的坐标x和y
customer=vertexs(2:end,:);          %顾客坐标
cusnum=size(customer,1);            %顾客数
v_num=25;                           %初始车辆使用数目
demands=data(2:end,4);              %需求量
h=pdist(vertexs);
dist=squareform(h);                 %成本矩阵
%% 模拟退火参数
belta=10;                           %违反的容量约束的惩罚函数系数
MaxOutIter=2000;                    %外层循环最大迭代次数
MaxInIter=300;                      %里层循环最大迭代次数
T0=100;                             %初始温度
alpha=0.99;                         %冷却因子
pSwap=0.2;                          %选择交换结构的概率
pReversion=0.5;                     %选择逆转结构的概率
pInsertion=1-pSwap-pReversion;      %选择插入结构的概率
N=cusnum+v_num-1;                   %解长度=顾客数目+车辆最多使用数目-1
%% 随机构造初始解
currS=randperm(N);                  %随机构造初始解
[currVC,NV,TD,violate_num,violate_cus]=decode(currS,cusnum,cap,demands,dist);       %对初始解解码
currCost=costFuction(currVC,dist,demands,cap,belta);        %求初始配送方案的成本=车辆行驶总成本+alpha*违反的容量约束之和
Sbest=currS;                        %初始将全局最优解赋值为初始解
bestVC=currVC;                      %初始将全局最优配送方案赋值为初始配送方案
bestCost=currCost;                  %初始将全局最优解的总成本赋值为初始解总成本
BestCost=zeros(MaxOutIter,1);       %记录每一代全局最优解的总成本
T=T0;                               %温度初始化
%% 模拟退火
for outIter=1:MaxOutIter
    for inIter=1:MaxInIter
        newS=Neighbor(currS,pSwap,pReversion,pInsertion);           %经过邻域结构后产生的新的解
        newVC=decode(newS,cusnum,cap,demands,dist);                 %对新解进行解码
        newCost=costFuction(newVC,dist,demands,cap,belta);          %求初始配送方案的成本=车辆行驶总成本+alpha*违反的容量约束之和
        %如果新解比当前解更好，则更新当前解，以及当前解的总成本
        if newCost<=currCost 
            currS=newS; 
            currVC=newVC;
            currCost=newCost;
        else 
            %如果新解不如当前解好，则采用退火准则，以一定概率接受新解
            delta=(newCost-currCost)/currCost;           %计算新解与当前解总成本相差的百分比
            P=exp(-delta/T);                    %计算接受新解的概率
            %如果0~1的随机数小于P，则接受新解，并更新当前解，以及当前解总成本
            if rand<=P
                currS=newS; 
                currVC=newVC;
                currCost=newCost;
            end
        end
        %将当前解与全局最优解进行比较，如果当前解更好，则更新全局最优解，以及全局最优解总成本
        if currCost<=bestCost
            Sbest=currS;
            bestVC=currVC;
            bestCost=currCost;
        end
    end
    %记录外层循环每次迭代的全局最优解的总成本
    BestCost(outIter)=bestCost;
    %显示外层循环每次迭代的信全局最优解的总成本
    disp(['第',num2str(outIter),'代全局最优解:'])
    [bestVC,bestNV,bestTD,best_vionum,best_viocus]=decode(Sbest,cusnum,cap,demands,dist);
    disp(['车辆使用数目：',num2str(bestNV),'，车辆行驶总距离：',num2str(bestTD),'，违反约束路径数目：',num2str(best_vionum),'，违反约束顾客数目：',num2str(best_viocus)]);
    fprintf('\n')
    %更新当前温度
    T=alpha*T;
end
%% 打印外层循环每次迭代的全局最优解的总成本变化趋势图
figure;
plot(BestCost,'LineWidth',1);
title('全局最优解的总成本变化趋势图')
xlabel('迭代次数');
ylabel('总成本');
%% 打印全局最优解路线图
draw_Best(bestVC,vertexs);
toc

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往期回顾>>>>>>

【VRP问题】禁忌搜索算法求解VRP问题

【vrp问题求解】基于遗传算法的带时间窗的车辆路径问题VRPTW

【VRP问题】基于禁忌搜索求解带时间窗的TWVRP问题

【VRP问题】基于遗传算法求解带容量的VRP问题

【VRP问题】基于人工鱼群求解带时间窗的VRP问题matlab源码

标签：Metropolis,VRP,问题,模拟退火,CVRP,最优,初始
来源： https://blog.csdn.net/qq_34763204/article/details/110887423