【数论】中国剩余定理（CRT）

我们需要解决满足

\(\begin{cases}x \equiv a_1 \ (\bmod \ b_1) \\ x \equiv a_2 \ (\bmod \ b_2) \\ ~~~~~~~~~~~\cdots \\ x \equiv a_n \ (\bmod \ b_n)\end{cases}\)

的一个解 \(x\)，并且保证所有的 \(b\) 都互相互质。

我们考虑设 \(M=\prod\limits_{i=1}^{n} b_i\)，\(m_i=\dfrac{M}{b_i}\)，\(t_i\) 为 \(m_ix\equiv 1\ (\bmod \ b_i)\) 的一个解，最后的 \(x=\sum\limits_{i=1}^{n}a_im_it_i\)。

我们现在来证明一下 \(x\) 是一个满足条件的解。

证明：

对于任意的 \(k \in [1, n]\)，\(a_km_kt_k \equiv a_k \ (\bmod b_k)\)，

而 \(a_km_kt_k \equiv 0 \ (\bmod \ b_i) \ (i \in [1, n], i \not= k)\)，故，\(x\) 是一个满足条件的解。

我们知道，\(M \equiv 0 \ (\bmod \ b_i) \ (i \in [1, n])\)，故 \(x + kM \ (k \in \Z)\) 都是满足答案的解，若题目要求最小正整数解，\(x = (x \bmod M + M) \bmod M\)。

拓展中国剩余定理 （excrt）

先咕了

标签：limits,CRT,数论,定理,km,kt,cases,bmod,equiv
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