扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记

预姿势：

扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有

问题：

求解线性同余方程组：

\[f(n)=\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\ x\equiv a_2\pmod {m_2}\\ ... ...\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}\]

的解\(x\)。

\(m\)两两之间不一定互质！

解法：

ExCRT的基本思想是将方程两两合并，合并规则如下：

定义

\[inv(a,b)\]

表示\(a\)在模\(b\)意义下的逆元。

\[(a,b)\]

表示\(gcd(a,,b)\)，即\(a\)和\(b\)的最大公约数。

则：

\[c=(inv(\frac{m_1}{(m_1,m_2)},\frac{m_2}{(m_1,m_2)})*\frac{(c_2-c_1)}{(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{(m_1,m_2)}*m_1+c_1\]
\[m=\frac{m_1m_2}{(m_1,m_2)}\]

就可以将

\[\begin{cases} x\equiv c_1\pmod {m_1}\\ x\equiv c_2\pmod {m_2}\\ \end{cases}\]

合并成

\[x\equiv c\pmod m\]

的形式。

然后就好了。。。

证明\推导过程：

看这里

反正我也不会推，背过公式就好了（理直气壮）

Code

//占坑待填(逃)

标签：frac,pmod,定理,笔记,ExCRT,cases,equiv
来源： https://www.cnblogs.com/oierwyh/p/11388364.html