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笛卡尔积与二元关系

作者:互联网

笛卡尔积

笛卡尔积的定义

AAA、BBB为集合,用AAA中的元素作为第一元素,BBB中的元素作为第二元素,构成有序对。所有这样的有序对组成的集合称作AAA和BBB的笛卡尔积,记作A×BA×BA×B.A×B={&lt;x,y&gt;xA,yB}A×B=\{&lt;x,y&gt;|x\in A, y\in B\}A×B={<x,y>∣x∈A,y∈B}由排列组合关系可知,若AAA中有mmm个元素,BBB中有nnn个元素,则A×BA×BA×B或B×AB×AB×A中有mnmnmn个元素。

例如,若A={a,b}A=\{a,b\}A={a,b},B={0,1,2}B=\{0,1,2\}B={0,1,2},则
A×B={&lt;a,0&gt;,&lt;a,1&gt;,&lt;a,2&gt;,&lt;b,0&gt;,&lt;b,1&gt;,&lt;b,2&gt;}A×B=\{&lt;a,0&gt;, &lt;a,1&gt;, &lt;a,2&gt;, &lt;b,0&gt;,&lt;b,1&gt;,&lt;b,2&gt;\}A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}B×A={&lt;0,a&gt;,&lt;0,b&gt;,&lt;1,a&gt;,&lt;1,b&gt;,&lt;2,a&gt;,&lt;2,b&gt;}B×A=\{&lt;0,a&gt;,&lt;0,b&gt;,&lt;1,a&gt;,&lt;1,b&gt;,&lt;2,a&gt;,&lt;2,b&gt;\}B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}

nnn阶笛卡尔积:
A1,A2,...,AnA_1,A_2,...,A_nA1​,A2​,...,An​(n2n\geqslant 2n⩾2)是集合,它们的nnn阶笛卡尔积记作A1×A2×,...,×AnA_1×A_2×,...,×A_nA1​×A2​×,...,×An​,其中A1×A2×,...,×An={&lt;x1,x2,...,xn&gt;x1A1x2A2...xnAn}A_1×A_2×,...,×A_n=\{&lt;x_1,x_2,...,x_n&gt;|x_1\in A_1\lor x_2\in A_2\lor...\lor x_n\in A_n\}A1​×A2​×,...,×An​={<x1​,x2​,...,xn​>∣x1​∈A1​∨x2​∈A2​∨...∨xn​∈An​}当A1=A2=...=AnA_1=A_2=...=A_nA1​=A2​=...=An​时,可将它们的nnn阶笛卡尔积简记为AnA^nAn
例如,A={a,b}A=\{a,b\}A={a,b},则A3={&lt;a,a,a&gt;,&lt;a,a,b&gt;,&lt;a,b,a&gt;,&lt;a,b,b&gt;,&lt;b,a,a&gt;,&lt;b,a,a&gt;,&lt;b,b,a&gt;,&lt;b,b,b&gt;}A^3=\{&lt;a,a,a&gt;,&lt;a,a,b&gt;,&lt;a,b,a&gt;,&lt;a,b,b&gt;,&lt;b,a,a&gt;,&lt;b,a,a&gt;,&lt;b,b,a&gt;,&lt;b,b,b&gt;\}A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,a>,<b,b,a>,<b,b,b>}

笛卡尔积运算的性质:

  1. AAA、BBB中有一个空集,则它们的笛卡尔积是空集,即×B=A×=\emptyset ×B = A ×\emptyset = \emptyset∅×B=A×∅=∅
  2. ABA\neq BA̸​=B且AAA、BBB都不是空集时,有A×BB×AA×B\neq B×AA×B̸​=B×A
  3. AAA、BBB、CCC都不是空集时,有(A×B)×CA×(B×C)(A×B)×C\neq A×(B×C)(A×B)×C̸​=A×(B×C)
  4. 笛卡尔积运算对交和并满足分配律A×(BC)=(A×B)(A×C)A×(B\cup C) = (A×B)\cup(A×C)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)(BC)×A=(B×A)(C×A)(B\cup C)×A=(B×A)\cup(C×A)(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)A×(BC)=(A×B)(A×C)A×(B\cap C) = (A×B)\cap(A×C)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)(BC)×A=(B×A)(C×A)(B\cap C)×A=(B×A)\cap(C×A)(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
有序对、有序nnn元组、元素的定义

有序对:
由两个元素xxx和yyy按一定的顺序排列成的二元组称作一个有序对序偶,记作&lt;x,y&gt;&lt;x,y&gt;<x,y>,平面直角坐标系中的坐标就是一个典型的有序对。
有序对的特征:

  1. xyx \neq yx̸​=y时,&lt;x,y&gt;&lt;y,x&gt;&lt;x,y&gt;\neq &lt;y,x&gt;<x,y≯​=<y,x>
  2. 两个有序对相等(&lt;x,y&gt;=&lt;u,v&gt;&lt;x,y&gt;=&lt;u,v&gt;<x,y>=<u,v>)的充分必要条件是x=ux=ux=u且y=vy=vy=v.

有序nnn元组:
一个有序nnn元组(n3n\geqslant 3n⩾3)是一个有序对,其中第一个元素是一个有序n1n-1n−1元组,一个有序nnn元组记作&lt;x1,x2,...,xn&gt;&lt;x_1,x_2,...,x_n&gt;<x1​,x2​,...,xn​>,即&lt;x1,x2,...,xn&gt;=&lt;&lt;x1,x2,...,xn1&gt;,xn&gt;&lt;x_1,x_2,...,x_n&gt;=&lt;&lt;x_1,x_2,...,x_{n-1}&gt;,x_n&gt;<x1​,x2​,...,xn​>=<<x1​,x2​,...,xn−1​>,xn​>

元素:
在一个有序对&lt;x,y&gt;&lt;x,y&gt;<x,y>中,xxx是有序对的第一元素yyy是有序对的第二元素

二元关系

定义一:
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对,则称这个集合是一个二元关系,一般记作RRR。对于二元关系RRR,若&lt;x,y&gt;R&lt;x,y&gt;\in R<x,y>∈R,则记作xRyxRyxRy;若&lt;x,y&gt;R&lt;x,y&gt;\notin R<x,y>∈/​R,则记作x̸Ryx\not R yx̸​Ry

定义二:
AAA、BBB为集合,A×BA×BA×B的任何子集所定义的二元关系称作从 AAA到BBB的二元关系,特别当A=BA=BA=B时,则称作 AAA上的二元关系

关系上的计数及特殊关系:

通常集合AAA上不同关系的数目依赖于AAA的基数(即集合中元素的个数),若A=n|A|=n∣A∣=n,那么A×A=n2|A×A|=n^2∣A×A∣=n2,A×AA×AA×A的子集有2n22^{n^2}2n2个。

A×AA×AA×A上的每一个子集就代表一个AAA上的关系,即表示AAA上有2n22^{n^2}2n2个不同的二元关系,其中有三种特殊的关系,假设有集合A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2},则

  1. 空关系={}\emptyset=\{\emptyset\}∅={∅}
  2. 全域关系EA={&lt;1,1&gt;,&lt;1,2&gt;,&lt;2,1&gt;,&lt;2,2&gt;}E_A=\{&lt;1,1&gt;,&lt;1,2&gt;,&lt;2,1&gt;,&lt;2,2&gt;\}EA​={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
  3. 恒等关系IA={&lt;1,1&gt;&lt;2,2&gt;}I_A=\{&lt;1,1&gt;&lt;2,2&gt;\}IA​={<1,1><2,2>}
关系矩阵和关系图:

A={x1,x2,...,xn}A=\{x_1,x_2,...,x_n\}A={x1​,x2​,...,xn​},RRR是AAA上的关系,令rij={1,if xiRxj0,if xi̸Rxjr_{ij}= \begin{cases} 1, &amp; \text{if $x_iRx_j$} \\ 0, &amp; \text{if $x_i\not{R} x_j$} \end{cases}rij​={1,0,​if xi​Rxj​if xi​̸​Rxj​​则RRR的关系矩阵为:(rij)=[r11r12r1nr21r22r2nrn1r12r1n](r_{ij})= \begin{bmatrix} r_{11}&amp;r_{12}&amp;\cdots&amp;r_{1n}\\ r_{21}&amp;r_{22}&amp;\cdots&amp;r_{2n}\\ \vdots&amp;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\ r_{n1}&amp;r_{12}&amp;\cdots&amp;r_{1n}\\ \end{bmatrix}(rij​)=⎣⎢⎢⎢⎡​r11​r21​⋮rn1​​r12​r22​⋮r12​​⋯⋯⋱⋯​r1n​r2n​⋮r1n​​⎦⎥⎥⎥⎤​
VVV是一个顶点集EEE是一个有向边集,令V=A=x1,x2,...,xnV=A={x_1,x_2,...,x_n}V=A=x1​,x2​,...,xn​。若xiRxjx_i R x_jxi​Rxj​,则xix_ixi​到xjx_jxj​的有向边&lt;xi,xj&gt;E&lt;x_i,x_j&gt;\in E<xi​,xj​>∈E,那么G=&lt;V,E&gt;G=&lt;V,E&gt;G=<V,E>就是RRR的关系图

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来源: https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/90582156