MT【338】分式变形

已知首项为$a_1$公比为$q$的等比数列$\{a_n\}$满足$q^4+a_4+a_3+a_2+1=0$则$a_1$的取值范围_____

答案:$\in(-\infty,-\dfrac{2}{3}]\cup[2,+\infty)$
分析:由题意

$a_1=-\dfrac{1+q^4}{q+q^2+q^3}=-\dfrac{q^2+\frac{1}{q^2}}{q+\frac{1}{q}+1}=-\dfrac{(q+\frac{1}{q})^2-2}{q+\frac{1}{q}+1}=-\dfrac{t^2-2}{t+1}\in(-\infty,-\dfrac{2}{3}]\cup[2,+\infty)$
其中$t=q+\dfrac{1}{q}\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
注:关键一步变形$-\dfrac{1+q^4}{q+q^2+q^3}=-\dfrac{q^2+\frac{1}{q^2}}{q+\frac{1}{q}+1}$. 遇到这种分子分母次数很高且非齐次的分式结构,上下同时除以$q^2$ 的技巧也是常见的.

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