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紧集(compact set)、完备集(perfect set)和完全集(complete set)的对比分析

作者:互联网

相关定义

紧集(compact set):若度量空间 E 的任意一个无限子集 S 都在 E 中有极限点 p,则 E 为紧集.

完备集(perfect set):若 E 相对度量空间 X 是闭集,且任一属于 E 的点都是 E 的极限点,则称 E 是相对 X 的完备集.

完全集(complete set):若度量空间 E 中的任意一个柯西序列都是收敛的,则 E 为完全集.

柯西序列(Cauchy sequence):度量空间 X 中的一个序列 {pn},若任意给定一个正实数 ε > 0,总存在正整数 N 使得 d(pj, pk) < ε 对任意 j ≥ N 和 k ≥ N 都成立,则称该序列为柯西序列.

收敛序列(Convergent sequence):度量空间 X 中的一个序列 {pn},若 X 中存在一点 p 满足以下特性:任意给定一个正实数 ε > 0,总存在正整数 N 使得 d(pn, p) < ε 对任意 n ≥ N 都成立. 则称 {pn} 为 X 中的收敛序列. 并称 {pn} 在 X 中收敛于 p.

序列(Sequence):记 J 为全体正整数集,在 J 上定义一个函数 f: J→A(A 可为任意非空集合),即对任意 n ∈ J,有 f(n) ∈ A. 这样的函数 f 则被称为序列,并记作 {xn},其中 xn = f(n).

对比分析

上述定义中,紧集、完备集、完全集,以及收敛序列和柯西序列,都是基于度量空间而言的. 这是因为这些概念都和点(项)之间的距离紧密相关. 可以说,紧集、完备集、完全集都是围绕极限点的概念而展开的.

对完全集的分析

完全集是用柯西序列收敛刻画的,而柯西序列可分为如下两种:

(1) E 中的柯西序列 {xn} 的值域(range)A 为有限集

此时恰有 A 中的某个元素 x 在 {xn} 中占据无穷项,即有

lim n→∞ xn = x  (x ∈ A).

显然,这种柯西序列必然也是收敛序列.

(2) E 中的柯西序列 {xn} 的值域(range)A 为无限集

此时A 中任意某个元素在 {xn} 中只能占据有限项. 此种情形的柯西序列 {xn},可以等价刻画为:

任取 A 中不同的两点 p 和 q,其距离的下确界为 0. 即

inf {d(p, q): p ∈ A, q ∈ A, p ≠ q} = 0.

若 A 在 E 中有极限点 x,则柯西序列 {xn} 在 E 中是收敛的,且收敛于 x,即有

lim n→∞ xn = x  (x ∈ E).

若 A 在 E 中没有极限点,则柯西序列 {xn} 在 E 中不是收敛的.

总结一下,第一种柯西序列必然也是收敛序列;第二种柯西序列收敛与否取决于该序列的值域是否有极限点,有则收敛,否则不收敛.

紧集必是完全集

考虑 E 是紧集,可分为如下两种情形:

(1) E 是有限集

此时,E 没有极限点,由 E 的元素构成的柯西序列只能是上述第一种柯西序列,即也是收敛序列.

(2) E 是无限集

假设 A 是 E 的一个无限子集,并由 A 的元素可以构造出一个柯西序列 {xn},则这个序列必然是收敛的【由紧集定义,A 在 E 中有极限点 x,则 im n→∞ xn = x  (x ∈ E)】.

综合(1) 和 (2) 可知:若 E 是紧集,则 E 是完全集.

非紧集的完全集

上面的分析得出紧集是完全集的一种特例. 那么一些紧集的特性就不一定适用于完全集. 比如紧集是有界的,完全集则不然.

例 1:取 E = J,E 不是有界的,但 E 中的任意一个柯西序列只能是上述第一种柯西序列,显然都是收敛的,即 E 是完全集.

例 2:考虑如下的离散度量空间:

X 是一个无限集合,对任意 p ∈ X,q ∈ X,定义:d(p, p) = 0;当 p ≠ q 时,d(p, q) = 1.

X 显然不是紧集,但 X 是完全集. 和上例的 E 一样,X 也是由无限个孤立点组成的. 但和上例不一样,此处的完全集是有界的.

这里的例 1 和例 2 构成的完全集,和有限集构成完全集,在本质上是一样的,都是没有极限点的完全集.

完全集必是闭集

由完全集的定义以及上述分析可知,完全集是闭集. 作为完全集的特例,紧集也是闭集.

对完备集的分析

紧集和完全集都是相对自洽的概念. 而完备集则不然,比如:

例 3:E = (0, 1) ⊂ R,E 相对 R 显然不是完备集(E 在 R 上不是闭集),但 E 相对自身却是完备集. 容易验证,E 既不是紧集,也不是完全集.

例 4:E = Q ⊂ R,同样 E 相对 R 不是完备集,但 E 相对自身却是完备集. 同样易知,E 既不是紧集,也不是完全集.

完备集的定义,相对紧集和完全集,一方面是做了更强的约束,即其中的每个点都是极限点,这就使得完备集中没有孤立点;另一方面,又不如紧集和完全集的约束强,紧集的约束最强(要求任一无限子集必有极限点),其次是完全集(要求任一柯西序列收敛).

因此可以结合起来,引入完备紧集和完备完全集,即:

若 E 是紧集,且 E 中任意一点都是 E 的极限点,则称 E 为完备紧集.

若 E 是完全集,且 E 中任意一点都是 E 的极限点,则称 E 为完备完全集.

这样一来,完备紧集和完备完全集,就都是相对自洽的概念了. 而且由上面的分析可知,完备紧集必是完备完全集.

例 5:E = [0, 1] ⊂ R,E 是完备紧集.

例 6:有理数集 Q ,不是完备完全集(比如 Q 中存在一个无限趋于 π 的柯西序列),自然也不是完备紧集;实数集 R 是完备完全集,但不是完备紧集.

一个猜测

至此,可以猜测:

若 E 为完备完全集,且 E 有界,则 E 是完备紧集. 即对于任意度量空间 E 而言,若 E 有界、完备、完全,则 E 是紧集. 简记为
bounded + perfect + complete ⇒ compact.

 

标签:compact,perfect,set,完备,完全,柯西,紧集,极限点,序列
来源: https://www.cnblogs.com/readalps/p/16671249.html