巴塞尔问题与划分数的上界估计
作者：互联网
生病无聊看了下数学科普，感觉这个方法挺有意思的，就记录一下，算是理性愉悦。
首先是巴塞尔问题：众所周知所有自然数倒数和发散，那倒数平方和是否收敛？即求：
\[\sum_{k>0} {1\over k^2} \]又是众所周知有一个巧妙的做法是考虑 \(\sin x\) 的泰勒展开：
\[\sin x = \sum_{0\le k} (-1)^k {x^{2k+1}\over (2k+1)!}=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-···=x(1-{x^2\over 3!}+{x^4\over 5!}-···) \]显然是一个无穷次的多项式，我们考虑对它因式分解，\(\sin x = 0\) 的解集合为 \(\{k\pi | k\in \Z\}\)，考虑其泰勒展开零次项为 0，我们得到：
\[\sin x = x(1+{x\over \pi})(1-{x\over \pi})(1+{x\over 2\pi})(1-{x\over 2\pi})· ·\space·=x(1-{x^2\over \pi^2})(1-{x^2\over 2\pi^2})··\space· \]观察这个因式分解展开后 \(x^2\) 的系数，就是 \({1\over \pi^2}+{1\over 2^2\pi^2}+{1\over 3^2\pi^2}+···\)，与泰勒展开中 \(x^2\) 的系数划等号：
\[{1\over \pi^2}\sum_{k>0} {1\over k^2}={1\over 3!} \]\[\sum_{k>0} {1\over k^2}={\pi^2\over 6} \]然后就是重点：划分数的上界估计了。设 \(P_n\) 把 \(n\) 拆分称若干个自然数之和的方案数，根据直觉它的增长应该是指数级的。考虑它的生成函数，显然有：
\[P_n=[x^n]\prod_{k>0}\sum_{i=0}^{\infty}x^{ik}=[x^n]\prod_{k>0} {1\over 1-x^k} \]对于乘积我们常取对数处理，但这里还是有点逆天，我们考虑一般不会考虑的生成函数的值，对于 \(0<x<1\)， 设生成函数为 \(P(x)\)，显然有 \(P_n x^n\le P(x)\)
所以：
\[P_n x^n \le \prod_{k>0} {1\over 1-x^k} \]这时再考虑两边取对数
\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{k>0} \ln {1\over 1-x^k} \]依旧泰勒展开，我们有：
\[\ln {1\over 1-t}=\sum_{k>0} {t^k \over k} \]所以：
\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{k>0} \sum_{i>0} {x^{ik}\over i} \]先考虑右边两坨\(\Sigma\)，交换求和顺序：
\[\sum_{k>0} \sum_{i>0} {x^{ik}\over i}=\sum_{i>0}{1\over i} \sum_{k>0} x^{ik}=\sum_{i>0}{1\over i} \cdot {x^i \over 1-x^i} \]考虑放缩一下，\(1-x^i = (1-x)(1+x+x^2+···+x^{i-1}) \ge i(1-x)x^{i-1}\) (考虑这里生成函数的前提条件 \(0<x<1\)),综合之前的巴塞尔问题，我们得到
\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{i>0}{1\over i} \cdot {x^i \over 1-x^i} \le \sum_{i>0} {1\over i} \cdot {x^i \over i(1-x)x^{i-1}}={x\over 1-x} \sum_{i>0} {1\over i^2} ={\pi^2 \over 6} \cdot {x\over 1-x} \]稍微移下项，得到 \(\ln P_n \le \ln {x^{-n}} + {\pi^2 \over 6} \cdot {x\over 1-x}\)，设 \(t={x\over 1-x},x={t\over 1+t}\)然后喜闻乐见的放缩：
\[\ln x^{-n}=n\ln x^{-1}=n\ln {t+1\over t}=n\ln (1+{1\over t})\le {n\over t} \]于是我们有 \(\ln P_n \le {\pi^2 t \over 6} + {n\over t}\) ，这里 \(t>0\)，这里变成了高中最值问题，当 \(t={\sqrt{6n}\over \pi}\)时，右边有最小值 \(\sqrt{6n}\pi \over 3\)，再做exp，即可得到最终结果：
\[P_n \le e^{\sqrt{6n}\pi \over 3} \]标签：le,ln,cdot,over,上界,巴塞尔,划分,pi,sum 来源： https://www.cnblogs.com/wwlwakioi/p/16644223.html