做题记录：P3166 [CQOI2014]数三角形

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题意：给定 (n+1)(m+1)(n+1)(m+1) 个点的网格图，任意投三个点，求三角形的个数。

首先，不考虑三点共线的情况，方案数可以很轻松的得出来。

在 (n+1)(m+1)(n+1)(m+1) 个点中找到 33 个点，计算一下组合数 C_{(n+1)(m+1)}^3C(n+1)(m+1)3​ 即可。

三点共线分为两种情况。

• 1.垂直于网格图

• 2.不垂直

前者也可以通过组合数学得到结论，对于横着的线，有 m+1m+1 条，每条线有 n+1n+1 个点，而且要选出三个，计算一下组合数 (m+1)C_{(n+1)}^3(m+1)C(n+1)3​ 。

竖着的边同理，也可以轻松找到。

关键在于第二个如何找到。

不垂直，但是我们可以枚举两点的横坐标差和纵坐标差，记为 i,ji,j 。

对于横坐标差为 ii ,纵坐标差为 jj 的点对。xx 坐标有 (n-i+1)(n−i+1) 种排列方式 ，yy 坐标有 (m-j+1)(m−j+1) 种排列方式。

现在考虑第三个点。

我们有一个结论，当一个直角三角形的直角顶点在整点上，且直角边平行于坐标轴，不妨设直角边为 a,ba,b 。这时，斜边上的整点个数为 gcd(a,b)-1gcd(a,b)−1 个。

于是我们直接使用这个结论：

第二种情况也被我们解决。

核心代码很短，仅供参考：

ans=c((n+1)*(m+1))-(m+1)*c(n+1)-(n+1)*c(m+1);
for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=2;j<=m;j++)ans-=2*(__gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1);
}

标签：个点,P3166,直角,横坐标,差为,共线,纵坐标,CQOI2014,三角形
来源： https://www.cnblogs.com/masida-hall-LZ/p/16623831.html