高中数学奥赛指导——不等式选做

不等式

• 排序不等式

两个有序数组 \(a_i,b_i\) 单调递增。

\[a_1b_1+a_2b_2 \dots +a_nb_n \ge a_1b_j1+a_2b_j2 \dots +a_nb_jn(乱序) \ge a_1b_n+a_2b_{n-1} \dots +a_nb_1 \]

由此得：

• 切比雪夫不等式

\[\sum\limits_{i=1}^na_ib_i \ge \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^na_i \times \sum\limits_{i=1}^nb_i \ge \sum\limits_{i=1}^na_ib_{n+1-i} \]

• 平均不等式

\[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc} \]

• 调和平均不等式

\[\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\le \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^na_i} \]

• 柯西不等式

P281 ，注意变形

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来源： https://www.cnblogs.com/xlqs23/p/16581248.html