原根

原根

阶：满足 \(a^n\equiv 1(\mod p)\) 的最小的 \(n\)，为 \(a\) 模 \(p\) 的阶
原根：若 \((a,m)=1\) 且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根
判定方法：
若对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因子 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)\)

存在定理：需要满足 \(m=2,4,p^x,2p^x\)
原根个数：\(\varphi(\varphi(m))\)

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原根的所有作用其实都围绕其模意义下的指数唯一性展开，根据这一性质可以进行乘法向加法的转化

由阶的性质，\(g^x\) 在模 \(p\) 意义下各不相同，当 \(p\) 为质数时，可以发现 \(g^x\) 正好对应了 \(1~p-1\) 中的所有数，它们形成了一个映射关系，那么所有 \(xy\) 的运算均可转化为 \(g^{x'+y'}\) 的运算

（貌似多想式可以把加法转化为乘法？这个不太清楚不敢瞎说）

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BSGS

\(BSGS\) 作用就是求方程 \(a^x\equiv b(\mod p)\) 的解的工具
当 \(p\) 为质数时可以朴素求解，否则可以通过 \(exBSGS\) 求解

一定注意特判一些边界情况，如 \(x=0\) 等

• \(exBSGS\)

设 \((a,p)=d\)，那么 \(a^t+kp=b\)

同时除以 \(d\)，得到 \(\frac{a}{d}a^{t-1}+k\frac{p}{d}=\frac{b}{q}\)

那么 \(\frac{a}{d}a^{t-1}\equiv\frac{b}{d}\pmod {\frac{p}{d}}\)

\(a^{t-1}\equiv\frac{b}{d}(\frac{a}{d})^{-1}\pmod {\frac{p}{d}}\)

• 变形

对于 \(x^a\equiv b \pmod p\)
可以把左右都通过原根一上去后使用扩欧求解，也可以把左边一上去后先用 \(BSGS\) 求解完再扩欧
但是注意扩欧的同余系变成了 \(\varphi(p)\)

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杂题

A. 整除

求 \(x^m\equiv x(\mod p)\)
那么等价于 \(g^{mi}\equiv g^i (\mod p)\)
此时求解 \((m-1)i\equiv 0 (mod p)\) 解的个数
为 \(\frac{(p-1)(m-1)}{lcm(p-1,m-1)}+1=gcd(p-1,m-1)+1\)

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CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

可以发现式子中出现了乘积式，那么用原根整成加法式
因为加法式的好处是可以通过矩乘递推
但是现在知道了第 \(n\) 项的值而不知道第 \(k\) 项
可以发现矩阵是可以知道的，而我们只关心第 \(n\) 项，可以发现 \(f_k\) 对第 \(n\) 项的值只与矩阵的一个值有关，于是可以解得 \(f_k\)
但是这些都是基于指数上的，真实情况是 \(f_k^x=f_n\)，还需要解一个质数方程

标签：frac,原根,可以,varphi,equiv,mod
来源： https://www.cnblogs.com/yang-cx/p/16124831.html