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浅谈不动点法在数列中的应用

浅谈不动点法在数列中的应用不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成 $x=f(x)$ 的形式。不动点法在解释线性空间，动态规划以及

P4139 上帝与集合的正确用法

求 \[2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}mod\,p \]\[p\leq 10^7 \] 显然硬干是不行的，那么考虑别的思路。设 $f(p)$ 为原式模 $p$ 的解，那么 $f(p)=2^{f(\varphi(p))+\varphi(x)}$ ,递归可以求出上一项的值即可，边界是 $\varphi(p)=1$ 时 $f(p)=0$ ，需要预处理出 $\varphi$ 的值。 #

数论学习笔记

0. 前置知识 0.1 常用数学标识若 $a$ 与 $b$ 模 $p$ 同余，则写成 $a\equiv b\pmod p$。完全剩余系：$(a_1,a_2,...,a_{n-1})$ 模 $n$ 两两不同，则称 $(a_1,a_2,...,a_{n-1}))$ 为模 $n$ 的完全剩余系。 0.2 二项式定理 \[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^

原根

原根阶：满足 $a^n\equiv 1(\mod p)$ 的最小的 $n$，为 $a$ 模 $p$ 的阶原根：若 $(a,m)=1$ 且 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则 $a$ 为模 $m$ 的原根判定方法：若对于 $\varphi(m)$ 的每个素因子 $p$，都有 $a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)$ 存在定理：需要满

原根

目录原根Some Important Ideas Before THis阶DefinitionProperty 1Property 2Property 3Property 4原根Definition原根判定定理原根个数原根存在定理原根存在定理Lemma to Theorem 1Theorem 1Lemma to Theorem 2Theorem 2Theorem 3Theorem 4 原根 Some Important Ideas Before THi

【学习笔记】数论入门基础

积性函数与完全积性函数 $e(n) = [n=1]$ $I(n) = 1$ $id(n) = n$ 迪利克雷卷积记 $h = f *g$ 表示 $f,g$ 的迪利克雷卷积为 $h$ \[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]迪利克雷卷积有交换律、结合律、分配律： \[\begin{aligned} f* g &= g *f \\ (f* g) *h &= f*

【学习笔记】Powerful Number 筛

有力量的数字筛（？） Powerful Number 有力量的数字（？）定义一个数 $n$ 为 Powerful Number（简称 PN），当且仅当 $n$ 没有非平方因子。也即，若 $n=\prod p_i^{e_i}$，则 $\forall e_i>1$。 Lemma 保障 PN 筛时间复杂度的一个性质。 $n$ 以内的 PN 个数为 $O(\sqrt n)$。首先，考虑

原根存在性定理的群论证明

原根存在性定理的证明定义模$m$意义下满足阶为$\varphi(m)$的元素为$m$的原根，求证$m\in\N^+$的原根存在，当且仅当$m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}$，其中$P$为素数集。显然，如果$m$的原根存在，那么$m$的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va

筛法求欧拉函数之和

题目描述求$1\sim n$每个数欧拉函数之和想法如果$i$是质数 $\varphi (i) = i - 1$ 质数$i$只有$1$和$i$两个因数，$i$不和$i$本身互质，因数只有一个$1$，所以互质的数就有$i-1$个如果$i$不是质数 $i \% j = 0$ $j$是质数则$j$即$i$的一个质

初等数论漫谈/学习记录

八个月前浅尝辄止地碰了一下初等数论，写了一大堆零零散散的blog，想了想最好还是把它们整理一下，顺便补充一点当时没学到/没写到的内容。以下讨论对象均为整数。 exgcd 21.11.02 即扩展欧几里得，可以以普通欧几里得的复杂度求出关于 $x,y$ 的不定方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特

Note -「因数的欧拉函数求和」

归档。试证明：$\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x$ Lemma 1. 试证明：$\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k$，其中 $p$ 为质数。证明：显然，和 $n$ 不互质的数一定含有 $p$ 因子，而在 $[1, n]$ 中总共有 $\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}$ 个

BSGS 大步小步算法

BSGS 大步小步算法 $Baby~Step, Giant~Step$，大步小步算法（轻量级算法，求解高次同余方程）。思路先上例题：给定整数 $a,b,p$，其中 $\mathbf{a,p}$ 互质，求一个非负整数 $x$，使得 $a^x\equiv b\pmod p$ 朴素算法概述：考虑一个暴力算法，在 $\bmod~p$ 的意义下，$a^x$ 显然有一个

2022暑假“雅礼集训”Day2

cyj 的场哦/qq/qq/qq 考场 80+30+40 但感觉最后一题或者第一题是要做出来的…… P5572 CmdOI2019 简单的数论题 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \varphi(\frac{ij}{\gcd^2(i,j)})=\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac md]}\varphi(i)\varphi(j)[(i,j)=1] =\sum_

「题解」sdfzoj contest5 A. 亚log欧拉函数求和问题（HDU 5728 加三个 0）

给定 $n,m$，保证 $\mu^2(n)=1$，求： \[\sum_{i=1}^m\varphi(in) \]模 $10^9+7$，$n\leq 10^{10},m\leq 10^9$．对于把 $\varphi(in)$ 拆开，比较经典的是考虑每个质因子 $p$ 的贡献，则有： \[\begin{aligned} &\sum_i^m\varphi(in) \\ =&\sum_i^m\frac{\var

P4240 毒瘤之神的考验

Description $\mathcal{P}\text{ortal.}$ Solution 首先想到要把 $\varphi(ij)$ 拆开，这里有个公式 \[\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))} \]考虑证明，有 \[\begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p|i,p\i

冲刺国赛7.5

数叶子分别考虑每个点的贡献，发现只和与他相邻的边有关系不妨枚举是哪条边产生贡献，假设是第 $x$ 条边那么在他左边就有 $x-1$ 条边再加上选择区间的左端点一共要选出 $x$ 个点右边同理要选出 $deg-x+1$ 条边枚举这条边在哪里就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m}\binom{i}{x

P1891 疯狂 LCM

P1891 疯狂 LCM 题意：给定 $n$，求： \[\sum_{i = 1}^n \operatorname{lcm}(i, n) \]思路：先把 $lcm$ 换成 $gcd$： \[\ n\sum_{i = 1}^n \frac{i}{gcd(i,n)} \]加一个枚举因数的 $\sum$ \[\ n\sum_{d|n} \sum_{i = 1}^n \frac{i}{d}[gcd(i,n)=d] \]即 \[\ n\sum_

ACVF of ARMA(1, 1)

$ARMA(1, ~ 1)$ process is a time series $\left\{ X_{t} \right\}$ defined as: \[X_{t} - \phi X_{t-1} = Z_{t} + \theta Z_{t-1} \]where $|\phi| < 1$ and $\left\{ Z_{t} \right\} \sim WN(0, ~ \sigma^{2})$。它的 ACVF (autocovari

RSA

一、基本原理公钥与私钥的产生随机选择两个不同大质数 $p$ 和 $q$，计算 $n=p\times q$。求得 $\varphi ( n )$。选择 $e < \varphi ( n )$，使 $e \perp \varphi (n) $。并求得 $e$ 在模 $\varphi ( n )$ 下的逆元 $d$。销毁 $p$ 和 $q$。此时，\(( N , e

拓展欧拉定理漫谈

已知数列$\left\{a_n\right\}: 3^1,3^2,3^3 \cdots$ 问第2022项个位数字多少这个小学找规律问题很简单，$3^n$个位数以3，9，7，1为循环节循环，照这个规律很容易得到答案作为掌握一定数论知识的我们，当然要探其渊薮个位数的本质是mod 10，而（3，10）=1，根据欧拉定理$3^{\varphi(10)}\equiv 1(mod

欧拉函数

定义 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的和 $n$ 互质的数的个数比如 $\varphi(1)=1$ 当$n$ 为质数时 $\varphi(n)=n-1$ $\varphi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),\gcd(p_i,n)=1$ ，这可以用性质 1 和 3 来证欧拉函数的一些性质欧拉函数是积性函

P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候

Problem: 题目描述 Informatik verbindet dich und mich. 信息将你我连结。 B 君希望以维护一个长度为 $n$ 的数组，这个数组的下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。一共有 $m$ 个操作，可以分为两种： 0 l r 表示将第 $l$ 个到第 $r$ 个数（ $a_l,a_{l+1} ...a_r$）中的每一

Multi-parameter estimation beyond quantum Fisher information

Eq(75) \[\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\left( 1+cos\theta \right)& \frac{1}{2}sin\theta e^{-i\varphi}\\ \frac{1}{2}sin\theta e^{i\varphi}& \frac{1}{2}\left( 1-cos\theta \right)\\ \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{2

线性筛法 & 洛谷P4449 于神之怒加强版

筛质数基础的。 // v 标记是否为合数，p 存储质数 for (int i=2; i<=N; ++i) { v[i]||(p[++cnt]=i); for (int j=1,t; j<=cnt&&(t=p[j]*i)<=N; ++j) { v[t]=1; if (i%p[j]==0) break; } } 原理：每个合数 $t$ 只被其

[数学基础] 7 欧拉函数

欧拉函数非常有用的欧拉函数！嗯……好像应该放在四大定理前讲的来着QAQ 1. 欧拉函数的定义定义$\varphi(N)$为$1$~$N$中与$N$互质的数，假设$N$可以表达为$p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$，$\forall i\in [1,k], p_i$为质数，$a_i>0$ 则\(\varphi(N)=N\time