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原根

我也不知道为什么我求原根的板子都没打就来学ntt（ 好吧其实知道原根是啥就行 阶 定义：若 \(\gcd(a,n)=1\) ,则满足 \(a^{x}\equiv 1 \pmod n\) 的最小正整数 \(x\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\text{ord}_n(a)\) 。 性质： \(a,a^2,a^3,\cdots,a^{\text{ord}_n(a)}\) 在模 \(n\)

原根

原根 阶：满足 \(a^n\equiv 1(\mod p)\) 的最小的 \(n\)，为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 原根：若 \((a,m)=1\) 且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根 判定方法： 若对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因子 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)\) 存在定理：需要满

原根

目录原根Some Important Ideas Before THis阶DefinitionProperty 1Property 2Property 3Property 4原根Definition原根判定定理原根个数原根存在定理原根存在定理Lemma to Theorem 1Theorem 1Lemma to Theorem 2Theorem 2Theorem 3Theorem 4 原根 Some Important Ideas Before THi

原根存在性定理的群论证明

原根存在性定理的证明 定义模\(m\)意义下满足阶为\(\varphi(m)\)的元素为\(m\)的原根，求证\(m\in\N^+\)的原根存在，当且仅当\(m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}\)，其中\(P\)为素数集。显然，如果\(m\)的原根存在，那么\(m\)的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va

[笔记] 求质数的原根

素数的原根的定义：若\(g^0,g^1 \cdots g^{p-1}\)在mod p意义下各不相同，则g是p的一个原根。质数的最小的原根通常很小，所以从2开始枚举每一个正整数，判断其是否为p的原根。 判断的方法：如果g不是p的原根，则存在\(0\leq i < j \leq p-1\)满足\(g^i≡g^j\)(mod p)，也就是存在d(\(0<d \leq p

NTT

质数模数 NTT 普通 FFT 有一个很大缺点就是精度和随带的速度 因为一直是在复数域，大量的 double 运算，精度的损失太大了，所以出现了 NTT （快速数论变换） NTT 的思想和 FFT 的思想是一样的，只是将原根换成了一个替代品\(\to\)关于模数的原根 倒数的地方就是原根关于模数的逆元

原根

定义 当 \(\gcd(a,p)=1\) ，最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod p\) ，称为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 ，\(n=\xi_p(a)\) 对于 \(g\) ，如果满足 \(\gcd(g,p)=1,\xi_p(g)=\varphi(p)\) ，那么 \(g\) 为 \(p\) 的一个原根 性质有关 NTT 设 \(g\) 为质数 \(p\) 的一个原根 设 \(g_n=g^{\f

dls的数论-阶与原根，指数方程

阶 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; vector<int> pf; LL qmi(LL a, LL b, LL mod){ LL res = 1 % mod; while(b){ if(b&1) res = res * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1;

原根和循环卷积 2016国家集训队论文集—再探快速傅里叶变换

原根和循环卷积\(\ \ \ 2016\)国家集训队论文集—再探快速傅里叶变换 这个连原根都不明白的屑来补坑了 原根 阶\(:\) 设\(m>1,\gcd(a,m)=1,\)那么最小的\(r\)满足\(a^r=1(\mod m)\)称为\(r\)是\(a\)在\(\mod m\)意义下的阶,记为\(\delta_m(a)\) 有关定理\(:\) \(1.\)若\(m>1,\)并

#原根，BSGS，扩欧#51nod 1038 X^A Mod P

题目 \(T(T\leq 100)\) 组询问在模 \(P\) 意义下给 \(B\) 开 \(A\) 次方根， 求出 \([0,P)\) 的所有解，\(P\) 是一个质数。 分析 求出 \(P\) 的原根 \(G\)，若 \(G^x\equiv B\pmod{P}\)，这个 \(x\) 可以通过 BSGS 求出来。 那么 \(X^A\equiv B\pmod{P}\) 就可以转换成 \(G^{kA}\equiv G

Codeforces 360D - Levko and Sets（数论+原根）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 首先考虑对于一个 \(x\)，什么样的数能够在 \(x\) 对应的集合中表示出来，不难发现一个数 \(y\) 属于 \(x\) 对应的集合，当且仅当其可以写成 \(x^{c_1b_1+c_2b_2+\cdots+c_mb_m}\) 的形式，而由于 \(p\) 是质数，根据费马小定理，指数上的值 \(\bmod(

数论变换NTT

目录0. 前言原根Number Theoretic TransformsInverse Number Theoretic Transforms 0. 前言 我们在学Fast Fourier Transforms的时候就会发现输出栏有res[i]=(unsigned long)(a[i].real()/limit+.5) 这里需要加上\(0.5\)以保证输出精度 输出精度是怎么产生的呢？ 我们用复数运算，这

【学习笔记】阶与原根

阶与原根 引入 根据欧拉定理，我们知道：若 \(a \perp m\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。 因此，数列 \(a^1,a^2,a^3,\cdots\) 在模 \(m\) 意义下有一个 \(\varphi(m)\) 的循环节，因为 \(a^{\varphi(m)+1}\equiv a\pmod{m}\)。 然而，我们并不能保证它是最短的循环节。于是我们把

原根学习笔记

以下涉及到的运算如无特殊说明均为模 \(p\) 意义下的运算 阶与原根 我们把最小的满足 \(a^x\equiv1\) 的正整数 \(x\) 称为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶。 如果 \(a\not\perp p\)，则 \(a\) 的阶不存在。这是因为 \(a,p\) 均有 \((a,p)\) 这个因子，所以 \(a^x-kp\) 也一定含有 \((

CSP 后多校十一(多项式、原根待补)

NOIP2018 感觉不是很难，一开始想的是二分最多能选多少个物品，然后一元二次函数直接 \(O(1)\) 出结果. 但是被卡精度了，其实只用二分每个物品最多花多少钱，画两个一元二次函数就行了. 因为两个物品的花费越接近越优，于是就完了. CSP 2019 多项式不会. CSP 2020 考场上想到可能是数位\(dp

洛谷P3321 [SDOI2015]序列统计【NTT+原根】

题目描述 小C有一个集合 S，里面的元素都是小于 m 的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为 n 的数列，数列中的每个数都属于集合 S。 小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数 x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数

红黑树保持平衡的三种基本操作

上一篇文章我们提到了红黑树。这是一种比较复杂 数据结构。所以，咱么就只能一点一点地抽丝剥茧。遇到这种比较复杂的问题，咱们切记贪多求快，要一点一点的蚕食。当然了，我说的这个也只是针对大部分普通人。天赋异禀的小天才们不要对号入座哈。接着上一篇文章，我们今天来说一说红黑树保

原根

Definition 若 \(a\) 模 \(m\) 的阶等于 \(\varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的一个原根。\((a\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{N^+})\) Special Case \(3\) 是 \(998244353\) 的原根。 \(5\) 是 \(1000000007\) 的原根。

「primitive root」

阶（multiplicative order） \(\textbf{Def.}\)：\(\delta_m(a)\) 为最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod m\)，其中 \((a,m)=1\)。 Observation 1：\(\boxed{a^0\not\equiv a^1\not\equiv\dots\not\equiv a^{\delta_m(a)-1}\pmod m}\)。 \(\textbf{Proof}

原根

设 \(p\) 原根为 \(g\)，则 \(g^{\phi(p)}\equiv1(mod\ p)\)，且 \(\forall 0<i<\phi(p),\ g^i\not\equiv0(mod\ p)\)。 \(n\) 有原根，当且仅当 \(n=2,\ 4,\ p^k,\ 2p^k\)，\(p\) 为奇质数。 对于 \(n\) 来说，设最小的原根为 \(g_0\)，则任意一个原根 \(g=g_0^k\)，\(gcd(k,\p

原根相关总结

【ybt金牌导航8-6-5】最小原根

最小原根 题目链接：ybt金牌导航8-6-5 题目大意 给出一个质数 \(P\)，找他最小的原根。 思路 不知道原根的可以看这个： ——>点我<—— 至于找原根，其实我们可以用一个近似暴力的方法找。 为什么可以呢，因为它原根分布广，而且最小的也比较小。 我们就考虑判断一个数是否是原根。 对于要检

【luogu P6091】【模板】原根

【模板】原根 题目链接：luogu P6091 题目大意 多组数据，每次给出 n，求它的所有原根。 为了减少输出，给出一个 d，你只要输出从小到大排之后某些位置的数。 思路 首先对原根不清楚的可以先看看这个： ——>点我<—— 然后不知道怎么求最小原根的看这个： ——>点我<—— 然后一开始你会想着按

【ybt金牌导航8-6-4】原根数量

原根数量 题目链接：ybt金牌导航8-6-4 题目大意 给你一个奇质数 p，问你它原根的个数。 思路 首先，我们要知道原根是什么东西。 阶 在说原根之前，我们要知道阶是什么。 设 \(n>1\)，\(a\) 是与 \(n\) 互质的数，那根据扩展欧几里得，可以知道一定会有许多 \(r\) 使得 \(a^r\equiv 1(mod\ n)\)

原根

参考 阶 群中， 一个元素 a 的阶是使得 ad = ε 的最小正整数 d， ε 是这个群的单位元。 一个元素 a 的阶被记为 ord(a) 或 |a|。 在模 p 剩余系内， 记 ordp(a) 表示 mod p 意义下 a 的阶。（显然只有与 p 互质的 a 才可能有有限阶） 原根 若在模 m 剩余系内， ordm(a) = φ(m)， 则称 a 是 mo