两次FFT优化

众所周知，使用 \(\text{FFT}\) 求卷积时需要调用三次 \(\text{FFT}\)，其实两次 \(\text{FFT}\) 就可以求出卷积。

朴素使用 \(\text{FFT}\) 求卷积的三次调用中，有两次正变换，一次逆变换，因为必须将结果转化为系数表示法输出，所以考虑减少一次正变换。

考虑做一次正变换与一次逆变换求出卷积的情况：当计算 \(H * H\) 时，只需要做一次正变换。当计算 \(F * G\) 时，只需要将 \(F * G\) 转换为 \(H * H\)，就可以减少一次调用。也就是说，需要构造出 \(H\)。根据复数的定义，满足 \(H\) 的第 \(i\) 项系数的实部是 \(F\) 的第 \(i\) 项系数，虚部是 \(G\) 的第 \(i\) 项系数。也就是：

\[H(x)=F(x)+G(x)\times i \]

PS:\(i\) 表示虚数单位。

那么有：

\[H(x) * H(x)=(F(x) * F(x)-G(x) * G(x))+2F(x)G(x)\times i \]

这个式子的虚部含有 \(F(x)G(x)\)，也就是我们要求的结果。我们只需要计算出 \(H * H\)，将结果的虚部除以 \(2 \times limit\)，就是 \(F * G\) 的结果。

\(Code\)

int main(){
    int n=read(),m=read();
    for(int i=0;i<=n;++i) a[i].x=read();
    for(int i=0;i<=m;++i) a[i].y=read();
    while(lim<=n+m) lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    fft(a,1);
    for(int i=0;i<=lim;++i) a[i]=a[i]*a[i];
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=n+m;++i)
        printf("%d ",(int)(a[i].y/lim/2+0.5));
    return 0;
} 

实测与朴素 \(\text{NTT}\) 求卷积效率差不多。但是这种方法也有一定的缺点，二次 \(\text{FFT}\) 会比三次损失的精度更大。

标签：虚部,卷积,text,FFT,两次,int,times,优化
来源： https://www.cnblogs.com/hzx-qwq/p/16554648.html