平面图转对偶图

平面图转对偶图常用于解决平面图的最小割问题。

所谓平面图，就是能够在纸上画出来任意两边不在非顶点处相交的图。
对偶图是相对于一个平面图而言的。由于平面图的性质，你可以在纸上看到一些由边围成的许多封闭的面，假如把这些面编个号，看成节点，把两个面的交边映射到两个面所代表的节点之间的连边，则由面所代表的节点构成的新图叫做原平面图的对偶图。

举个例子，下面这个无向平面图和它的对偶图：

你可能会问：0 和 17 不是在一个面，为什么算两个节点？答：为了不构成环从而不方便处理。这一招在后续的对偶图最短路中很实用。

接下来说一下怎么把平面图转对偶图。
对于无向图，按照上面的方法实现即可；对于有向图，对偶图中的方向只要边之间的相对方向是和原来相符的，你就可以自己定方向（比如下面的网格图，我们可以把以(1,1)-(n,n)对角线为分界线的右上面和左下面作为0和5，将原边顺时针旋转90°）

接下来说一下平面图转对偶图在平面（有向）图最小割中的应用。平面图按照经典算法求最小割的复杂度非常大的时候，转换为对偶图只需要求一次 O(nlogn) 的最短路即可解决。
具体来说，上图转换为平面图，将原来的边的边权对应赋给对偶图上的边权，那么原图的割对应对偶图上的一条从 s=0 到 t=5 的路径，从而只需要算出一条最短路即可。

经典题：[NOI2020]海拔。（本题须注意最小割可以蜿蜒，所以所有的边都是有用的，合起来建一张图跑 Dij）

标签：短路,平面图,最小,对偶,节点,边权
来源： https://www.cnblogs.com/impyl/p/16459675.html