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探求线段或棱上是否存在一个点

作者:互联网

前言

当在线段上选定了一个动点后,利用线段的比例或利用向量共线,就可以将形的问题转化为数的问题了。比如探究线段 \(PB\) 上是否存在一个点 \(S\),那么我们就假设存在满足条件的点 \(S\),可设 \(\overrightarrow{PS}=\lambda\overrightarrow{PB}(0\leqslant\lambda\leqslant 1)\),则若点 \(S\) 真的存在,则计算后就能得到\(\lambda\) 的值;若点 \(S\) 真的不存在,则计算后就不能得到\(\lambda\) 的值或者方程无解等。这不就是形和数的对应性吗?我们从形上感觉处理不了,转化为数的形式,不就可以计算了吗。

典例剖析

已知四棱锥\(P-ABCD\)中,底面是梯形, \(DC//AB\),\(AB=BC=2DC=4\),\(\angle ABC=90^{\circ}\),\(BD\)与\(AC\)交于点\(F\),平面\(PDC\perp\)平面\(ABCD\),\(PD=PC\),点\(G\)是\(AP\)上一点,且\(AG=2GP\);

(1).求证: \(GF//\)平面\(PBC\);

证明: 因为\(DC//AB\), 所以\(\triangle ABF\sim \triangle CDF\),则有\(\cfrac{AF}{FC}=\cfrac{AB}{DC}=2\)

又由于\(\cfrac{AF}{FC}=2=\cfrac{AG}{GP}\),所以 \(GF//PC\),

又\(GF\not\subset\)平面 \(PBC\),\(PC\subsetneqq\) 平面 \(PBC\),所以 \(GF//\)平面 \(PBC\);

(2). 若二面角 \(P-AB-C\)为 \(45^{\circ}\),

① 求直线 \(PC\) 与平面 \(PAB\) 所成角的正弦值;

解:取\(DC\)中点 \(O\),并在平面 \(ABCD\) 内作 \(DC\) 的垂线\(Ox\),连接 \(OP\),

由于\(PD=PC\),所以\(PO\perp DC\),又因为平面 \(PDC\perp\)平面\(ABCD\),所以\(PO\perp\)平面 \(ABCD\),

所以 \(Ox\)、\(OP\) 、 \(OC\)两两垂直,以\(O\)为坐标原点,建立空间直角坐标系\(O-xyz\), 如图所示;

设 \(OP=a(a>0)\),则\(O(0,0,0)\), \(A(4,-3,0)\),\(B(4,1,0)\), \(C(0,1,0)\), \(P(0,0, a)\),

设平面 \(PAB\) 的法向量为\(\vec{m}=(x, y, z)\),则 \(\vec{m}\perp \overrightarrow{BA}\), \(\vec{m}\perp\overrightarrow{B P}\);

又\(\overrightarrow{BA}=(0,-4,0)\),\(\overrightarrow{BP}=(-4,-1, a)\),

所以\(\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{-4x-y+az=0}\end{array}\right.\),解得 \(y=0\), \(z=\cfrac{4}{a}x\),

令\(x=a\),则\(y=0\),\(z=4\),得 \(\vec{m}=(a, 0,4)\)

则cos \(<\vec{m},\vec{n}>=\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}|\times|\vec{n}|}=\cfrac{4}{\sqrt{a^{2}+16}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\),解得\(a^{2}=16\),

由\(a>0\), 则\(a=4\), 所以点 \(P(0,0,4)\),

所以\(\cos <\overrightarrow{PC}, \vec{m}>=\cfrac{-16}{\sqrt{17}\times\sqrt{16+16}}=-\cfrac{2\sqrt{34}}{17}\)

设\(PC\)与平面\(PAB\) 所成的角为 \(\theta\),则\(\theta\in[0,\cfrac{\pi}{2}]\),

所以\(\sin\theta=|\cos<\overrightarrow{PC},\vec{m}>|=\cfrac{2 \sqrt{34}}{17}\),

即直线\(PC\)与平面 \(PAB\) 所成角的正弦值为\(\cfrac{2\sqrt{34}}{17}\);

② 在棱 \(PB\) 上是否存在一点 \(S\), 使得平面 \(SDC\perp\)平面\(PAB\)?若存在,求出 \(CS\) 的长度; 若不存在, 说明理由.

解析:假设存在满足条件的点 \(S\),可设 \(\overrightarrow{PS}=\lambda\overrightarrow{PB}(0\leqslant\lambda\leqslant 1)\)

则 \(\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{CP}+\lambda\overrightarrow{PB}=(0,-1,4)+\lambda(4,1,-4)=(4\lambda,\lambda-1,4-4\lambda)\)

设平面\(SDC\)的法向量为 \(\vec{b}=(x, y, z)\),则\(\vec{b}\perp\overrightarrow{DC}\),\(\vec{b}\perp \overrightarrow{C S}\),

又\(\overrightarrow{DC}=(0,4,0)\),所以\(\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{4\lambda x+(\lambda-1)y+(4-4\lambda)z=0}\end{array}\right.\)

解得\(y=0\),\(\lambda x=(\lambda-1)z\),

令\(z=\lambda\),\(x=\lambda-1\),则 \(\vec{b}=(\lambda-1,0,\lambda)\),

由平面 \(SDC\perp\)平面 \(PAB\), \(\vec{b}\perp \vec{m}\),

所以 \(4(\lambda-1)+4\lambda=0\), 解得 \(\lambda=\cfrac{1}{2}\in[0,1]\),

所以存在满足条件的\(S\)点,且\(S\)为\(PB\)的中点,此时 \(S\) 点坐标为\((2, \cfrac{1}{2}, 2)\), 且\(CS=\sqrt{4+\cfrac{1}{4}+4}=\cfrac{\sqrt{33}}{2}\).

标签:一个点,overrightarrow,探求,线段,cfrac,perp,vec,平面,lambda
来源: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16433362.html