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多目标优化总结by知乎 @ 张大快

作者:互联网

多目标优化的解集

单目标优化的最优解定义在多目标优化问题(MOO)问题中通常不适用。MOO的解集通常可以通过绝对最优解、有效解和弱有效解来描述。
先对多目标中的相等、严格小于、小于和小于且不相等进行说明。

\[\left\{ \begin{array}{} 相等&y=z\Leftrightarrow y_i=z_i,i=1,2,\cdots,N\\ 严格小于&y<z\Leftrightarrow y_i<z_i,i=1,2,\cdots,N\\ 小于&y \leqq z\Leftrightarrow y_i\leq z_i,i=1,2,\cdots,N\\ 小于且不相等(支配)&y\leq z\Leftrightarrow y_i\leq z_i,i=1,2,\cdots,N,y \neq z \end{array} \right. \]

Pareto 支配(Pareto Dominance)

定义: \(\forall x_{1},x_{2}\in R^{N}\),如果对于所有的\(k=1,\cdots,K\)都有\(f_k(x_1)\leq f_k(x_2)\),则称\(x_1\)\(\color{navy}{支配}\)\(x_2\)。

Pareto 解集:绝对最优解

定义: 设\(x^* \in D\),如果不存在\(x\in D\),使得\(f(x) \leq f(x^*)\);即下面条件不成立:

\[f_k(x) \leq f_k(x^*) ,and \exists i,f_i(x)<f_i(x^*),i \in [1,k] \]

则 \(x^*\)是MOO问题的\(\color{navy}{有效解}\)。

有效解也叫\(\color{navy}{帕累托最优解}\),其含义是,如果\(x^*\)是帕累托最优解,则找不到这样的可行解\(x \in D\),使得\(f(x)\)的每个目标值比\(f(x^*)\)的目标值坏,并且\(f(x)\)至少有一个目标比\(f(x^*)\)的相应值好。即\(x^*\)是最好的,不能再进行改进(帕累托改进)。\(\color{red}{(可以持平、可以一好一坏,但是不可以一平一好或者两个全比我好)}\)

Pareto解集:弱有效解

定义:设\(x^*\in D\),如果不存在\(x \in D\),使得\(f(x) < f(x^*)\);即

\[f_k(x) < f_k(x^*),and, \forall k\in [1,k] \]

则\(x^*\)是MOO问题的弱有效解.

其含义是如果\(x^*\)是弱有效解,则找不到这样的可行解\(x \in D\),使得\(f(x)\)的每个目标值都比\(f(x^*)\)的目标值严格的好。(不存在相等)

Pareto最优解集(Pareto-optimal Set)

定义:给定的MOO问题的有效解(帕累托最优解)构成的解集,称这个解集为Pareto-optimal Set,简称PS。

这个集合中的解都是互相非支配的,也即两两不是支配关系。

Pareto 最优前沿(Pareto-optimal front)

定义:Pareto-optimal Set 中每个解对应的目标值向量组成的集合称之为Pareto最优前沿(Pareto-optimal front),简称PF:

\[PF = \{F(x)|x \in PS\} \]

如图所示:

## 多目标优化的最优性条件 $\color{navy}{约束规格}$的定义:对优化问题的约束函数,附加某些限制条件,使得其最优解满足的最优性条件。 下面给出一个严格条件下多目标优化的充分必要条件。

定理:设\(f(x),g(x)\)为凸函数,且在\(x\in D\)处可微,\(h(x)\)为线性函数,且\(\hat{D}=x \in D|f(x) \leq f(\hat{x})\)满足KKT约束规格,则\(x^*\)是MOO的有效解的充分必要条件是存在\(\lambda \in R^K,u \in R^M,v \in R^L\)使得

\[\left\{ \begin{array}{} \triangledown_x L(x^*,\lambda^*,v^*) = \triangledown f(x_*)\lambda^*+\triangledown g(x_*)u^*+\triangledown h(x_*)v^* = 0 \\ u^{*T}g(x_*)=0\\ \lambda^*>0,u^*\geq 0 \end{array} \right. \]

\(\color{red}{chao,都不满足凸函数,也不可微, 要命}\)

标签:知乎,张大,color,解集,MOO,optimal,最优,Pareto,优化
来源: https://www.cnblogs.com/hundredtwo-kk/p/16427085.html