分治法简单应用

大整数乘法分治

缅怀Gauss
欲求\(X*Y=?\)，令\(X,Y均为n位，X=A*10^{n/2}+B,Y=C*10^{n/2}+D\)
\(XY=AC*10^{n}+BD+(AD+BC)*10^{n/2}\) →复杂度\(O(n^2)\)
\(XY=AC*10^{n}+BD+((A-B)(D-C)+AC+BD)*10^{n/2}\)
\(XY=AC*10^{n}+BD+((A+B)(C+D)-AC-BD)*10^{n/2}\)
改进后六次加法+3次乘法,\(T(n)=3T(n/2)+O(n)→T(n)=O(n^{lg3})=O(n^1.59)\)
再优化后就是fft和ntt

strassen矩阵乘法

假设n为2的指数（不足则将矩阵添零补到n阶矩阵）


用上述大整数乘法类似的处理方法，P负责乘法，可证明这种方式至少需要7次乘法

\(T(n)=7T(n/2)+O(n)→T(n)=O(n^{log7})=O(n^{2.81})\)

快排和归并性能分析

实践证明当对数组进行排序的时候，快速排序的速度优于归并排序。对于链表，是归并排序的速度优于快速排序。
一般数组中，快排在排序的过程中是访问连续的一个列表；而归并（两个归到一个）是在不停的访问两个列表。
但，当快排访问的不是连续的列表时，而是访问列表等时，就和归并相比就没有优势了。

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