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数学基础03-初等函数

2022-06-12 21:35:24 作者：互联网

初等函数

1 常值函数

常值函数 $y=c$ ，定义域为 $(- \infty,+\infty)$ ，值域为单点集 $\{c\}$

它的图像时平行于 $x$ 轴的直线

2 幂函数

幂函数 $y = x^{\mu}(\mu 是常数)$ ，其定义域随着 $\mu$ 不同而不同，图像也随着$\mu$ 的不同而有不用的形状。

常用的幂函数有以下几个$(\mu = 1,\frac{1}{2},-1,2,3)$，熟记图像

$y = x ^{-1}$ 反比例函数

3 指数函数

3.1 基本概念

正整数指数幂

$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 连乘

零指数幂

$a^0 = 1(a \neq 0)$

任何数的0次方都等于1

负整数指数幂

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}(a \neq 0,n \in N)$

正分数指数幂

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}(a \geq 0,m、n\in N且n>1,m、n互质)$

3.2 幂的运算法则

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

$a^m \div a^n = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{m\times n}$

$(ab)^n = a^n \times b^n$

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} = a^n \times b^{-n}$

3.3 定义

指数函数 $y = a^x(a>0,a \neq 1)$，定义域为 $(-\infty,+\infty)$，值域为 $(0,+\infty)$

当 $a >1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递增函数

当 $0< a < 1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 是单调递减函数

$ a<0 $ 时，指数函数没有实在意义，因为一个 $x$ 值可能存在两个 $y$ 值，不构成函数

常用的指数函数有 $y = e^x,y = 2^x,y=10^x$

$y = e^x$

$y = 2^x$

$y=10^x$

$f(x) = (\frac{1}{2})^x$

4 对数函数

4.1 基本概念

对数定义

如果 $a^b = N(a >0 且a \neq 1)$，那么 $b$ 叫做以 $N$ 为底的对数，记作 $\log_aN = b$ ，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

4.2 性质

$\log_aa = 1,a^1 = a$

$\log_a1 = 0,a^0 = 1$

0和负数无对数

$a^{\log_aN} = N$ -> $log_aN = k,a^k = N,a^{\log_aN} = N$

$log_aN = log_aN \Rightarrow a^{\log_aN} = N$

将上面右变的值记作k，则

$\log_aN = k$

那么 $a^k = N$ ，则 $a^{log_aN} = N$

4.3 运算法则

$\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN$

$\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN$ 两边都变成指数形式，在进一步换算

$a^{log_a(M \times N)} = a^{log_aM + log_aN}$ 因为指数相等，所以再加个相同底数也相等

$M \times N = a^{log_aM} \times a^{log_aN}$ 指数相乘时，底数相同，指数相加的反推

$M \times N = M \times N$

这是 $M \times N$ 推导出来的
可以通过 $M \times N$ 推出两种不同的式子
一种 $M \times N$ 当真数
一种 $M$ 当真数乘以 $N$ 当真数形式
$\log_a(\frac{M}{N}) = \log_aM - \log_aN$

上述相同，也是利用指数计算的性质
$\log_aM^n = n \times \log_aM$

这里证明用到的是 $a^{m \times n} = (a^m)^n$

$a^{log_aM^n} = a^{n \times log_aM} = (a^{log_aM})^n = M^n$

换底公式没有讲 $\log_aN = \frac{log_bN}{log_ba}$

4.4 对数函数定义

对数函数 $y = log_ax (a>0,a\neq1)$，它是指数函数 $y = a^x$ 的反函数，它的定义域为 $(0,+ \infty)$，值域为 $(- \infty,+\infty)$

当 $a >1$ 时，对数函数 $y = \log_ax$ 是单调递增函数。

当 $0<a<1$ 时，对数函数 $y=\log_ax$ 是单调递减函数

常用的对数函数有 $y = \ln x,y = \log_2x,y=\log_{10}x$

$y = \ln x$

$y = \log_2x$

$y=\log_{10}x$

$y=log_{\frac{1}{2}}x$

5 三角函数

6 反三角函数

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来源： https://www.cnblogs.com/hsbt2333/p/16368948.html