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数学基础03-初等函数

作者:互联网

初等函数

1 常值函数

常值函数 \(y=c\) ,定义域为 \((- \infty,+\infty)\) ,值域为单点集 \(\{c\}\)

它的图像时平行于 \(x\) 轴的直线

2 幂函数

幂函数 \(y = x^{\mu}(\mu 是常数)\) ,其定义域随着 \(\mu\) 不同而不同,图像也随着\(\mu\) 的不同而有不用的形状。

常用的幂函数有以下几个\((\mu = 1,\frac{1}{2},-1,2,3)\),熟记图像

\(y = x^1\)

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\(y = x^\frac{1}{2}\)

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\(y = x ^{-1}\) 反比例函数

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\(y = x^2\)

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\(y = x^3\)

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3 指数函数

3.1 基本概念

正整数指数幂

​ \(a^n\) 表示 \(n\) 个 \(a\) 连乘

零指数幂

​ \(a^0 = 1(a \neq 0)\)

​ 任何数的0次方都等于1

负整数指数幂

​ \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}(a \neq 0,n \in N)\)

正分数指数幂

​ \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}(a \geq 0,m、n\in N且n>1,m、n互质)\)

3.2 幂的运算法则

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)

\((a^m)^n = a^{m\times n}\)

\((ab)^n = a^n \times b^n\)

\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} = a^n \times b^{-n}\)

3.3 定义

指数函数 \(y = a^x(a>0,a \neq 1)\),定义域为 \((-\infty,+\infty)\),值域为 \((0,+\infty)\)

当 \(a >1\) 时,指数函数 \(y=a^x\) 是单调递增函数

当 \(0< a < 1\) 时,指数函数 \(y=a^x\) 是单调递减函数

$ a<0 $ 时,指数函数没有实在意义,因为一个 \(x\) 值可能存在两个 \(y\) 值,不构成函数

常用的指数函数有 \(y = e^x,y = 2^x,y=10^x\)

\(y = e^x\)
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\(y = 2^x\)
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\(y=10^x\)
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\(f(x) = (\frac{1}{2})^x\)

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4 对数函数

4.1 基本概念

对数定义

如果 \(a^b = N(a >0 且a \neq 1)\),那么 \(b\) 叫做以 \(N\) 为底的对数,记作 \(\log_aN = b\) ,其中 \(a\) 叫做底数,\(N\) 叫做真数。

4.2 性质

\(\log_aa = 1,a^1 = a\)

\(\log_a1 = 0,a^0 = 1\)

0和负数无对数

\(a^{\log_aN} = N\) -> \(log_aN = k,a^k = N,a^{\log_aN} = N\)

\(log_aN = log_aN \Rightarrow a^{\log_aN} = N\)

将上面右变的值记作k,则

\(\log_aN = k\)

那么 \(a^k = N\) ,则 \(a^{log_aN} = N\)

4.3 运算法则

  1. \(\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN\)

    \(\log_a(M \times N) = \log_aM + \log_aN\) 两边都变成指数形式,在进一步换算

    \(a^{log_a(M \times N)} = a^{log_aM + log_aN}\) 因为指数相等,所以再加个相同底数也相等

    \(M \times N = a^{log_aM} \times a^{log_aN}\) 指数相乘时,底数相同,指数相加的反推

    \(M \times N = M \times N\)

    这是 \(M \times N\) 推导出来的
    可以通过 \(M \times N\) 推出两种不同的式子
    一种 \(M \times N\) 当真数
    一种 \(M\) 当真数乘以 \(N\) 当真数形式

  2. \(\log_a(\frac{M}{N}) = \log_aM - \log_aN\)

    上述相同,也是利用指数计算的性质

  3. \(\log_aM^n = n \times \log_aM\)

​ 这里证明用到的是 \(a^{m \times n} = (a^m)^n\)

​ \(a^{log_aM^n} = a^{n \times log_aM} = (a^{log_aM})^n = M^n\)

换底公式没有讲 \(\log_aN = \frac{log_bN}{log_ba}\)

4.4 对数函数定义

对数函数 \(y = log_ax (a>0,a\neq1)\),它是指数函数 \(y = a^x\) 的反函数,它的定义域为 \((0,+ \infty)\),值域为 \((- \infty,+\infty)\)

当 \(a >1\) 时,对数函数 \(y = \log_ax\) 是单调递增函数。

当 \(0<a<1\) 时,对数函数 \(y=\log_ax\) 是单调递减函数

常用的对数函数有 \(y = \ln x,y = \log_2x,y=\log_{10}x\)

\(y = \ln x\)

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\(y = \log_2x\)

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\(y=\log_{10}x\)

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\(y=log_{\frac{1}{2}}x\)

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5 三角函数

6 反三角函数

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来源: https://www.cnblogs.com/hsbt2333/p/16368948.html