CF1162E Thanos Nim

Problem - 1162E - Codeforces

大概是一篇迟到了13个月的题解？

第二次做到了这道题，上一次做到的时候还刚刚入门，啥也不懂，听学长讲的题解更是听不明白。今天又一次幸运的遇到了这道题，终于可以靠着自己的思考稍微讲一讲自己的思路了。

大致题意

​ 有\(n\)堆石子，每一次Alice和Bob需要选择\(\frac{n}{2}\)堆石子，分别移除任意多个，谁先无法进行操作则被认为输掉游戏

解题思路

​ 经过思考可以得到一个显然的结论：谁先使石子堆数减少，那么他必然会输掉游戏。原因简单，假设减少后的石子堆数为\(t\)，\(t < n\)，对方将任意\(\frac{n}{2}\)堆移完，那么剩下\(t - \frac{n}{2} < \frac{n}{2}\)，无法继续操作。

得到这一点后，我们继续思考，什么时候我们不得不完全移除一堆石子？

​ 我们先考虑比较简单的情况，一堆石子里面只有1，和一些大于1的数（如果都大于1，显然可以继续操作直到出现这种情况）

​ 当剩下的 个数不为1的石子堆数 小于一半时，我们无论怎么选择，都需要选择一堆个数为1的石子，将其移除，然后输掉游戏。否则的话，我们就可以选择那些个数不为1的石子，将它们的个数变为1，这样操作以后，个数不为1的石子数量必然小于一半，对方必输（原因同上）。

​ 从只包含1与其他数的情况往更大的数的情况推广，如果只包含2和其他数。当剩下的 个数不为2的石子堆数 小于一半时，我们必须选择一堆2将其变成1，同时我们注意到，这样操作完后，我们的剩下不为1的堆数大于一半，就是我们上一段讨论过的情形，是对方的必胜态，即我们必败太。反之同理，个数不为2的石子堆数 大与一半时，我们把他们都变成2，对方必输。

​ 以此类推，我们可以发现一条公共的规律，对于所有数量中最小的数，如果他的出现次数大于\(\frac{n}{2}\),则先手胜利，否则后手胜利。于是这道题就做完了。

​ 这个博弈思路还有一种理解方式就是可以理解为“不要先让最小值减小”，但是写的时候想了很久这个思路该怎么证明他和必胜策略的关联性，最终感觉想的有点乱于是作罢，就我自己而言，感觉还是从简单情况推广比较好理解。

​ 其实并不是很擅长博弈类的题目，所以讲的可能并不是很严谨，如果有错误敬请指出。

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来源： https://www.cnblogs.com/iceyz/p/16219017.html