首先，老规矩：

未经允许禁止转载(防止某些人乱转，转着转着就到蛮牛之类的地方去了)

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Eulerian-View

N-S:

\[\rho\frac{Dv}{Dt}=\rho g-\nabla p+\mu\nabla^2v \]

\[\nabla\cdot v=0 \]

operator splitting之后，分为

• advection

  \[\rho\frac{Dv}{Dt}=\rho g+\mu\nabla^2v \]

• projection : 把velocity散度投影为0

  \[\rho\frac{Dv}{Dt}=-\nabla p \]
  \[\nabla\cdot v=0 \]

Finite difference

• Forward difference

  \[\frac{\part q}{\part x}\approx\frac{q_{i+1}-q_i}{\Delta x} \]

• backward difference

• central difference(unbiased, 精度高)

  \[\frac{\part q}{\part x}\approx\frac{q_{i+1}-q_{i-1}}{2\Delta x} \]

  改进：(staggered grid)

  \[\frac{\part q}{\part x}\approx\frac{q_{i+1/2}-q_{i-1/2}}{\Delta x} \]

1. Advection

物理量的material derivative为0

\[\frac{Dq}{Dt}=\frac{\part q}{\part t}+v\cdot\nabla q=0 \]

在Lagrangian view下，粒子上的表现为：

\[q^{n+1}=q^n \]

在Eulerian View下

semi-Lagrangian :

• 假设粒子 \(q^{n+1}\) 正好运动到了grid marker(grid的中心点)
• 上一帧 \(q^n\) 的位置反算出来，然后可以通过双线性插值算出quantity

2. Projection

上下左右分别做 Finite Difference

\[\rho\frac{Dv}{Dt}=-\nabla p \]

最终得到 :

\[-\frac{\Delta t}{\rho}\nabla\cdot\nabla p=-\nabla\cdot v^n \]

问题转化为：Poisson problem

Boundary conditions :

• 狄利克雷boundary condition (流体顶部与空气接触的地方) (知道边界外的压力为0)

  • \(p=0\) for void grids

• 诺依曼boundary condition (流体与容器接触的地方) (不知道墙的压力是多少)

  • 知道压强的梯度，反推墙的压强

线性系统的解

• Direct solvers (e.g. PARDISO)
• Iterative solvers:
  • Gauss-Seidel
  • (Damped) Jacobi
  • (Preconditioned) Krylov-subspace solvers (e.g. conjugate gradients)

Krylov-subspace solvers

很有效的linear system solvers，有很多变形，最常用的一种是conjugate gradients

Poisson equation的解

• 一般会用conjugate gradients，其中multi-grid做precondition

• multi-grid的每一层用damped Jacobi做smoothing

• multi-grid的最下面一层用PARDISO这个Direct solver

Hybrid Eulerian-Lagrangian Schemes (Lagrangian View + Eulerian View) :

fluid solver has two components(对于incompressible fluid solver来说):

• Advection (移动流场)
  • Material derivative
  • Quantity advection
• Projection (enforcing incompressibility 把速度的散度分量投影掉)
  • Poisson's equation
  • Boundary conditions

1. Eulerian View :

• 方便discretize，容易查找邻居，所以擅长于Projection
• Advection过程中存在数值耗散.

2. Lagrangian View :

• 擅长advection
• 难以projection，例如SPH中找邻居很复杂.

Hybrid Eulerian-Lagrangian

粒子作为一轮共鸣，网格作为二轮共鸣

1. Particle to Grid
2. Grid操作(projection)
3. Grid to Particle
4. Particle操作(Advection)

具体方法 :

PIC (Particle in cell)

1. P2G, scatter velocity from particles to grid，传递时，使用kernel(靠近的点权重大)(常用Quadratic的B样条曲线)
2. Grid normalization，归一化（除以权重的和，保证物理量守恒）
3. pressure projection
4. G2P gather velocity（自由度损耗，丢失信息）

• 数值耗散大

APIC (Affine Particle in cell) : 推导及其复杂，实现非常简单

1. P2G, 除了velocity还会转移局部的affine速度场

   grid_v = weight*(v + affine)
   

2. 更新affine

• 在Particle上记录更多信息，Particle上记录了6个自由度（除了x,y方向速度之外，增加了4个，拉伸，剪切等）

PolyPIC(poly particle in cell)

• APIC的升级版，在Particle上记录更多自由度

MPM(Material Point Method)

MLS-MPM(Moving Least Squares MPM)

• 基于APIC

标签：frac,Particle,nabla,Heskey,流体,part,grid,rho,模拟
来源： https://www.cnblogs.com/Heskey0/p/16182848.html