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图论专题-学习笔记:Prufer 序列

作者:互联网

目录

1. 前言

Prufer 序列,是一种用来描述树的序列,一般用于一些树上度数统计的题。

注意作者是 OIer,考虑到 Prufer 序列在 OI 里面的应用等,本篇文章目前只讲述 \(O(n \log n)\) 的求法,\(O(n)\) 的求法后面会跟上来,会鸽子。

2. 详解

设有一棵 \(n\) 点的树,则这个 \(n\) 点的树和一个长度为 \(n-2\) 的 Prufer 序列是一一对应的,下面给出树与 Prufer 序列的互相转换方式。

2.1 树 \(\to\) Prufer 序列

转换方式如下:

  1. 从当前树上所有度数为 1 的点中取出编号最小的点,将与其直接连接的边加入 Prufer 序列中。
  2. 删除选出的这个点,同时被加入 Prufer 序列的点度数要减一,如果该点度数变为 1 那么这个点就有可能被取出。
  3. 重复该操作直到只剩下两个点,此时算法结束,Prufer 序列长度为 \(n-2\)。

使用堆可以很方便的完成这一系列操作,复杂度 \(O(n \log n)\)。

这里放上一张图,来自参考资料中的 OI - Wiki 中的图片(不确定他们这张图是哪来的,反正我从这里引用过来):

在这里插入图片描述

参考代码如下,其中 \(fa_i\) 表示 \(i\) 的父亲,代码中以 \(n\) 为根节点。

void TreeToPrufer()
{
	for (int i = 1; i < n; ++i) fa[i] = Read(), ++d[i], ++d[fa[i]];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		Prufer[++Prufer[0]] = fa[x]; --d[fa[x]];
		if (d[fa[x]] == 1) q.push(-fa[x]);
	}
}

实际上,根据构造方式,我们可以得出 Prufer 序列的两个性质:

同时,构造完 Prufer 序列后原树只会剩下两个节点,其中一个一定是 \(n\)。

2.2 Prufer 序列 \(\to\) 树

仿照树 \(\to\) Prufer 序列的做法,可以得到如下方式:

  1. 根据 Prufer 序列和上文的一个性质,算出所有点度数。
  2. 枚举 \(i \in [1,n-2]\),设 \(\{p_i\}\) 为 Prufer 序列,每次取出当前未被删除且度数为一的编号最小的点,设为 \(x\),将 \(x\) 与 \(p_i\) 连边然后删去 \(x\),同时减小 \(p_i\) 的度数。
  3. 最后应当会剩下两个度数为 1 的点,其中一个一定是 \(n\),将这两个点连起来即可。

照样使用堆来实现这一过程,复杂度 \(O(n \log n)\)。

参考代码如下,这里采用了链式前向星连边,然后使用一遍 dfs 求出 \(fa_i\)。

void dfs(int now, int father)
{
	fa[now] = father;
	for (int i = Head[now]; i; i = Edge[i].Next)
	{
		int u = Edge[i].To;
		if (u == father) continue ;
		dfs(u, now);
	}
}

void PruferToTree()
{
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) Prufer[i] = Read(), ++d[Prufer[i]];
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ++d[i];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		add_Edge(x, Prufer[i]); add_Edge(Prufer[i], x);
		--d[Prufer[i]]; if (d[Prufer[i]] == 1) q.push(-Prufer[i]);
	}
	int p1 = -q.top(); q.pop();
	add_Edge(p1, n); add_Edge(n, p1);
	dfs(n, n);
}

3. 性质

首先前面提到过一个性质(设 \(i\) 号点度数为 \(d_i\)):

然后利用 Prufer 序列,我们可以证明:

以及一些需要度数的题都可以用 Prufer 序列求解。

这里再放上一个性质:对于给定 \(d\) 序列,\(n\) 个点有标号无根树的种类有:

\[\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,...,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!} \]

顺带一提,如果利用 Prufer 序列来造数据,随机情况下树高是 \(\sqrt{n}\) 而不是 \(\log n\) 的。

4. 总结

Prufer 序列和树是一一对应的,与度数有很大的联系。

5. 参考资料

标签:度数,图论,int,笔记,fa,序列,now,Prufer
来源: https://www.cnblogs.com/Plozia/p/16156784.html