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度量空间笔记整理及教材不严谨之处分析

作者:互联网

以下笔记整理基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》(数学分析原理第三版),在下文以及标题中简称为教材.

定义1:度量空间

度量空间(metric space)是一个集合,记为 X,其元素称作点,在 X 上定义一个适用于其中任意两点 p 和 q 距离函数 d(p, q),该函数的值域为非负实数,且满足以下三个性质:

(a)  若 p ≠ q,则 d(p, q) > 0;d(p, p) = 0;

(b)  d(p, q) = d(q, p);

(c)  对任意 r ∈ X,有 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q).

示例

典型的度量空间示例是欧氏度量空间,即在欧氏空间 Rk 上定义距离函数:

d(x, y) = |x - y|,(x, y ∈ Rk).

对于度量空间 X 的任意一个子集 Y,沿用 X 上定义的距离函数,则 Y 也是一个度量空间.

 定义2:领域、极限点、内点、开、闭等

设 X 是一个度量空间,以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集.

(a)  点 p 的邻域(neighborhood)是一个集合: Nr(p) = {q | d(p, q) < r},其中 r 是一个正实数,称作该邻域的半径.

(b)  E 是一个集合,若点 p 的任意一个领域中都存在点 q 满足 q ∈ E,且 q ≠ p,则称点 p 为集合 E 的极限点(limit point).

(c)  若 p ∈ E,且 p 不是 E 的极限点,则称点 p 为集合 E 的孤立点(isolated point).

(d)  若 E 的每一个极限点 p 都满足 p ∈ E,则称 E 是闭的(closed).

(e)  若点 p 的邻域 N 满足 N ⊂ E,则称点 p 为集合 E 的内点(interior point).

(f)  若任一属于 E 的点都是 E 的内点,则称  E 是开的(open).

(g)  E 的补集(complement)是一个集合: Ec = {p | p ∉ E, p ∈ X}.

(h)  若 E 是闭的,且任一属于 E 的 点都是 E 的极限点,则称 E 是完备的(perfect).

(i)  若有实数 M 和点 p ∈ X,使得对任意点 q ∈ E 都满足 d(p, q) < M,则称 E 是有界的(bounded).

(j)  若任一属于 X 的点,要么是 E 的极限点,要么是属于 E 的点(或两者都是),则称 E 在 X 中是稠密的(dense).

定理:度量空间 E 是开的当且仅当 Ec 是闭的.

 :和教材中不同,这里采用反证法.

先证若 Ec 是闭的,则 E 是开的. 假设 E 不是开的,则存在点 p ∈ E,但 p 不是 E 的内点,即 p 的任一邻域 N 都有某点 q,满足:q ∈ N 且 q ∉ E(即 q ∈ Ec). 由上述定义可知,p 是 Ec 的极限点,由 Ec 是闭的可知 p ∈ Ec,这与 p ∈ E 矛盾,故 E 是开的.

再证若 E 是开的,则 Ec 是闭的. 假设 Ec 不是闭的,则存在点 p 是 Ec 的极限点,且 p ∉ Ec. 即有 p ∈ E,由 E 是开的可知,p 是 E 的内点,即存在 p 的某个邻域 N 使得 N ⊂ E,这与 p 是 Ec 的极限点矛盾,故 Ec 是闭的. 

理解与分析

孤立点与极限点

上述定义中,度量空间、邻域、孤立点、内点、开、补集、有界在理解上都是比较直观的. 其中孤立点可以采用如下更为直观的定义:

若点 p 的某个邻域 N 满足 N ∩ E = {p},则称点 p 为 E 的孤立点.

E 的极限点 p 实际上就是指 E 中存在其它的无限趋近点 p 的点,而点 p 可以属于 E,也可以不属于 E. 由此也很好理解:有限点集合一定没有极限点.

E 的内点显然也是 E 的极限点. 除了内点之外,E 的极限点还可以是处在边界上的点,不妨称之为边界点,以 X = R2 为例,下图中四边形 ABCD 围成的区域再加上一个离散的点 I 构成的点集记为 E:

点 I 为 E 的孤立点,E 中其余的点均为 E 的极限点,其中四边形 ABCD 内部的点都是 E 的内点,四条边界线上的点为边界点. 这个例子中,E 的边界点和内点可以统称为 E 的连续极限点. 另外,离散点足够密集的话也可以产生极限点,如教材中给出的一个例子:E' = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...},这是一个无穷离散数集,其中的数无限趋近于 0,因此 0 点是 E' 的一个极限点,可以称之为离散极限点.

开集与闭集

对照前面的定义可知上图所示的点集 E 是闭的,尽管 E 中有孤立点 I,但 E 依然构成一个闭集. 即一个闭集加上有限个孤立点之后依然是闭集,这一点,通过对 Ec 的开闭性质的考察,就会显得很直观了:

在上图中,Ec 就是从 R2 对应的平面中挖去一个四边形(连同边界),再挖去点 I 后由剩余的点构成的集合,这些剩余的点显然都是 Ec 的内点,即 Ec 为开集.  从一个开集中挖去有限个闭集之后依然是一个开集. 也可以说,有限个闭集的并集依然是一个闭集. 而一个孤立点可以看作是封闭图形经无限缩小退化而成的点.

因此,直接由开集来定义闭集,效果上会显得直观一些,即:

若 Ec 是开的,则定义 E 是闭的.

取上图所示的点集 E 与 E' = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} 的并集,记为 F,则 Fc 就是从 R2 对应的平面中挖去一个四边形(连同边界),再挖去点 I 和 E' 中的无限个孤立点后由剩余的点构成的集合. 注意到这时 0 点(即上图中原点)的任意邻域都和 E' 有交集,即 0 点不是 Fc 的内点,Fc 不是开集,F 也不是闭集. 事实上,E' 虽然由无限个孤立点组成,且每个孤立点独立构成一个闭集,但 E' 不再是闭集.

内点与边界点

如上所述,孤立点和极限点存在对立关系. 内点和边界点也存在类似的对立关系. 先给出边界点的严格定义:

若点 p 是 E 的孤立点,或点 p 是 E 的极限点且不是 E 的内点,则称点 p 为 E 的边界点.

按孤立点和极限点的划分,边界点又可分为孤立边界点和极限边界点,而极限边界点又可以划分为连续极限边界点和离散极限边界点.

以上图所示的点集 E 为例,E 是闭集,易知图中四边形的四条边界上的所有点都是 E 的极限边界点,而孤立点 I 是 E 的孤立边界点;Ec 是开集,E 中的孤立边界点 I 在 Ec 中成了极限边界点,而 E 中的极限边界点在 Ec 中依然是极限边界点.

再看上述的点集 F,由上面的分析已知,F 以及 Fc 既不是开集也不是闭集. 上图中四边形的四条边界上的所有点都是 F 的极限边界点, 孤立点 I 以及 E' 中的全体点是  F 的孤立边界点,此外,图中原点也是 F 的极限边界点;而在 Fc 中,图中四边形的四条边界上的所有点、点 I、E' 中的全体点以及原点,全都是极限边界点. 其中,原点是 F 和 Fc 的离散极限点,因而也是 F 和 Fc 的离散极限边界点.

对 X 的任意子集 E,记 E 的全体边界点的集合为 bound(E),则有 bound(E) = bound(Ec).

就 X = Rk 而言,有 bound(X) = bound(Φ) = Φ,即全集和空集都没有边界.

完备

由前述定义以及上面的分析可知,E 是完备的实际上是指 E 是闭集且 E 不含有孤立点,因而也就不会包含离散极限点. 也就是说,E 是闭集且包含的点全是连续极限点. 下图是一个完备集示意:

图中三角形 ABC 及其内部区域(含边界线),线段 DE,圆 EF 分别都是一个完备集,它们的合集同样是完备的.

稠密

以上图为例,取 X 为三角形 ABC 及其内部区域(含边界线),则由前述定义可知,要使得 X 的子集 E 在 X 中是稠密的,可以让 E 包含三角形 ABC 内部的全体点,这时 E 显然是稠密的;然后挖去 BC 边上的中线,得到面积减半的两个小三角形,此时 E 依然是稠密的;依次类推,挖中线的操作可以无限次地进行,剩余的点集保持稠密性不变,分出来的小三角形的总面体也总等于三角形 ABC 的面积.

教材不严谨之处分析

上述定义 2 的开头有一个声明,即:设 X 是一个度量空间,以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集.

这个声明中没有对 X 作限定,只是笼统地称 X 是一个度量空间,如果取一些特定的子集为 X,随后的定义和定理会得到非常荒谬的结论. 例如,取 R2 的子集 {(x, x) | x ∈ R} 为 X,即 X 为直线 y = x 上的全体点集,任取原点的一个邻域 N,这时无法保证 N 是 X 的子集;当然我们可以说 N 的定义独立于 X,不要求满足 N ⊂ X. 再看一个例子,令 X = {p, q, s, t},E = {p, q},即 X 仅由 4 个孤立点组成,E 仅由其中的两个孤立点组成,于是 Ec = {s, t},E 和 Ec 按定义都是闭集,而由 定理:度量空间 E 是开的当且仅当 Ec 是闭的 却会得出E 和 Ec 都是开集,但这显然与开集的定义相矛盾.

因此,为严谨起见,在给出 E 的补集定义时,应明确 X 是仅由内点组成且没有边界点的度量空间,这个度量空间实际即为全集度量空间. 

标签:极限点,孤立,Ec,边界点,闭集,内点,笔记,教材,度量
来源: https://www.cnblogs.com/readalps/p/16124899.html