首页 > 其他分享> > AcWing 356 次小生成树

AcWing 356 次小生成树

2022-03-30 07:31:49 作者：互联网

一、题目分析

本题要求严格的次小生成树，之前在$AcWing$ $1148$ 秘密的牛奶运输里也曾求过次小生成树，但是本题的数据范围更大，对时间复杂度的要求也更高。回忆下秘密的牛奶运输那题的基本思路。

在最小生成树中，连接生成树中任意两点$u$和$v$，则上图中由$u$到$v$构成的回路中，$uv$的长度**一定是该回路中边权长度的最大值**，否则原来的生成树一定就不是总边权最小的生成树。

$u$到$v$的回路由生成树上$u$到$v$的若干树边以及$uv$这条非树边构成。设最小生成树的边权之和为$sum$，$u$到$v$的树边中最大的边权是$m1$，第二大的边权是$m2$，$uv$的长度为$w$。则可能存在两种情况：

第一种情况，$u$到$v$的树边中所有的边权都小于$w$。此时$sum + w - m1$是次小生成树边权之和的候选解，也就相当于擦掉$u$到$v$的树边中边权最大的那条树边，再连接上$uv$生成的一个新的生成树。

第二种情况，$u$到$v$的树边中最大的边权$m1$等于$w$，此时擦掉边权为$m1$的树边，连上$uv$得到的还是最小生成树，为了得到严格的次小生成树，只能擦掉边权第二大的树边$m2$，连上$uv$，得到的次小生成树边权之和的候选解是$sum + w - m2$。

遍历下所有的候选解，就可以得到次小生成树的边权和了。

观察下秘密的牛奶运输的代码可以发现，该题代码的实现流程一共包括：用结构体存储边的信息，然后用$kruskal$算法求解最小生成树，并用邻接表存储生成树的信息，接着用$dfs$求最小生成树中最大和次大边权，最后遍历下非树边求解。这里每次执行$dfs$求最小生成树上两点路径中的$最大$和$次大边权$的时间复杂度都是$O(n)$，总的时间复杂度就是$O（n^2)$，本题需要用更高的效率求解次小生成树，因此需要优化生成树中两点间路径的最大和次大边权的求法。

可以使用求$LCA$的树上倍增法进行求解，树上倍增法的详细介绍见$AcWing$ $1172$ $祖孙询问$。也就是说本题总的解题流程与秘密的牛奶运输那题基本一致，只是在求最大、次大边权的方法上有所不同。

设$d[i][k]$表示树上的某节点$i$向上走$2^k$步到达的节点，则状态转移方程为$d[i][k] = d[d[i][k-1]][k-1]$，不妨令$j = d[i][k-1]$，则状态转移方程可以表示为$d[i][k] = d[j][k-1]$，直观的理解就是要想到达离$i$距离为$2^k$的节点，只需要先走$2^(k-1)$步到达$j$节点，再从$j$节点走$2^(k-1)$步就到达了目的节点。

令$f[i][k][0]$表示$i$到$d[i][k]$节点路径上的最大边权，$f[i][k][1]$表示次大边权，显然$f[i][k][0] = max(f[i][k-1][0],f[j][k-1][0])$，也就是$i$到$d[i][k]$一共有$2^k$条边，边权的最大值是$i$到$j$中边权的最大值与$j$到$d[i][k]$中边权的最大值中的较大者。$f[i][k][1]$的求解就需要分情况讨论了：

f[i][k-1][0] == f[j][k-1][0]时，f[i][k][1] = max(f[i][k-1][1],f[j][k-1][1];
f[i][k-1][0] > f[j][k-1][0]时，f[i][k][1] = max(f[i][k-1][1],f[j][k-1][0],;
f[i][k-1][0] < f[j][k-1][0]时，f[i][k][1] = max(f[i][k-1][0],f[j][k-1][1];

标签：树边,边权,uv,最小,生成,356,节点,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16074758.html