一、正项级数及其审敛法

定义一

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​的各项均为非负实数，即 u n ≥ 0 , n = 1 , 2 , 3 , . . . , u_n\geq0,n=1,2,3,..., un​≥0,n=1,2,3,...,则称此级数为正项级数.

设正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​的部分和为 s n s_n sn​，显然，数列 { s n } \left\{s_n\right\} {sn​}是一个单调递增数列，即 s 1 ≤ s 2 ≤ . . . ≤ s_1\leq s_2\leq ...\leq s1​≤s2​≤...≤
根据单调数列的性质，可以得到如下结论

定理一

正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界，即对一切 n n n有 s n ≤ M s_n\leq M sn​≤M（ M M M为正常数）
若正项级数的部分和数列无上界，则级数必发散到 + ∞ +\infty +∞.
根据定理1可得正项级数的一个基本审敛法.

定理二（比较审敛法）

设有两个正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​，若存在常数 k > 0 k>0 k>0，使 u n ≤ k v n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) u_n\leq kv_n(n=1,2,3,...) un​≤kvn​(n=1,2,3,...)成立，则

• 当级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​收敛时， ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​也收敛；
• 当级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​发散时，级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​也发散.

证 设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​的部分和分别为 s n s_n sn​与 σ n \sigma_n σn​，则有 s n ≤ k σ n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) . s_n\leq k\sigma_n(n=1,2,3,...). sn​≤kσn​(n=1,2,3,...).当 { σ n } \left\{ \sigma_n\right\} {σn​}有上界时， { s n } \left\{ s_n\right\} {sn​}必有上界；而当 { s n } \left\{ s_n\right\} {sn​}无上界时， { σ n } \left\{ \sigma_n\right\} {σn​}必无上界。由定理一即得定理结论。

为使用方便，下面给出极限形式的比较审敛法.

定理三（比较审敛法的极限形式）

设有正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​，且 v n > 0 v_n>0 vn​>0，若 l i m n → ∞ u n v n = l ( l ≥ 0 或 l = + ∞ ) lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l(l\geq 0或l=+\infty) limn→∞​vn​un​​=l(l≥0或l=+∞)，则

• 当 0 < l < + ∞ 0<l<+\infty 0<l<+∞时，级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​同时收敛或发散；
• 当 l = 0 l=0 l=0时，如果 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​收敛；
• 当 l = + ∞ l=+\infty l=+∞时，如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞​vn​发散，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​发散.

特别的，若取 v n = 1 n p v_n=\frac{1}{n^p} vn​=np1​，则有以下结论.

推论一

对于正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​，若 l i m n → ∞ n p u n = l lim_{n\rightarrow \infty}n^pu_n=l limn→∞​npun​=l，则

• 如果 p > 1 p>1 p>1，且 0 ≤ l ≤ + ∞ 0\le l\le+\infty 0≤l≤+∞，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​收敛；
• 如果 p ≤ 1 p\le 1 p≤1，且 l > 0 l>0 l>0或 l = + ∞ l=+\infty l=+∞，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​发散；

定理四（比值审敛法，达朗贝尔判别法）

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​为正项级数， u n > 0 u_n>0 un​>0且 l i m n → ∞ u n + 1 u n = ρ lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho limn→∞​un​un+1​​=ρ，则

• 当 0 ≤ ρ < 1 0\le\rho<1 0≤ρ<1，级数收敛；
• 当 ρ > 1 \rho>1 ρ>1或 ρ = + ∞ \rho=+\infty ρ=+∞时，级数发散；
• 当 ρ = 1 \rho=1 ρ=1时，级数可能收敛也可能发散（应改用其他方法判定）

定理五（柯西根值审敛法）

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​为正项级数，如果 l i m n → ∞ u n n = ρ lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho limn→∞​nun​ ​=ρ，则

• 当 0 ≤ ρ < 1 0\le \rho<1 0≤ρ<1时，级数 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​收敛；
• ρ > 1 \rho>1 ρ>1或 ρ = + ∞ \rho=+\infty ρ=+∞时，级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​发散；
• ρ = 1 \rho=1 ρ=1时，级数可能收敛也可能发散，即此审敛法失效.

定理六（积分审敛法）

设有单调递减非负函数 f ( x ) ( x ≥ 1 ) f(x)(x\ge1) f(x)(x≥1)，如果 u n = f ( n ) ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) u_n=f(n)(n=1,2,3,...) un​=f(n)(n=1,2,3,...)，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​与反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_{1}^{+\infty}f(x)dx ∫1+∞​f(x)dx有相同的敛散性.

二、任意项级数及其审敛法

如果一个级数只有有限个正项或负项，都可以用正项级数的各种审敛法判定它的敛散性.如果一个级数的正负项均由无限个，那么正项级数的各种审敛法不再适用.

对于任意项级数，其通项可正、可负或为零.下面的柯西审敛定理可用于其敛散性的判定.

定理七（柯西审敛原理）

级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞​un​收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε，存在有自然数 N N N，使得当 n > N n>N n>N时，都有
∣ u n + 1 + u n + 2 + . . . + u n + p ∣ < ε |u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}|<\varepsilon ∣un+1​+un+2​+...+un+p​∣<ε
对一切自然数 p p p成立.

定义二

如果级数的各项正负交错，即形如 ± ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n − 1 u n = ± ( u 1 − u 2 + u 3 − . . . ) , u n > 0 \pm\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}u_n=\pm(u_1-u_2+u_3-...),u_n>0 ±∑n=1+∞​(−1)n−1un​=±(u1​−u2​+u3​−...),un​>0，则称此级数为交错级数.（交错级数是一种特殊的任意级数）

定理八（莱布尼茨定理）

如果交错级数 ± ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \pm\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}u_n ±∑n=1+∞​(−1)n−1un​满足条件：

• u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) u_n \ge u_{n+1}(n=1, 2,3,...) un​≥un+1​(n=1,2,3,...)；
• l i m n → ∞ u n = 0 lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0 limn→∞​un​=0，

则级数收敛，且其和 s ≤ u 1 s\le u_1 s≤u1​，其余项 r n r_n rn​的绝对值 ∣ r n ∣ ≤ u n + 1 |r_n|\le u_{n+1} ∣rn​∣≤un+1​.
注意 条件一不满足，级数仍可能收敛.

三、绝对收敛与条件收敛

现在再来讨论任意项级数，前面所讲的对正项级数的审敛法较多，那么能否利用它对任意项级数的敛散性先作粗略的判断？

定义三

如果级数 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​各项的绝对值所构成的正项级数 ∑ n = 1 + ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{+\infty}|u_n| ∑n=1+∞​∣un​∣收敛，则称 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​绝对收敛；如果 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​收敛，而级数 ∑ n = 1 + ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{+\infty}|u_n| ∑n=1+∞​∣un​∣发散，则称级数 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​条件收敛.

定理九

如果 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​绝对收敛，则 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​必定收敛.

定理十

若 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​绝对收敛，则 ∑ n = 1 + ∞ u n + \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^+ ∑n=1+∞​un+​与 ∑ n = 1 + ∞ u n − \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^- ∑n=1+∞​un−​均收敛；若 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​条件收敛，则 ∑ n = 1 + ∞ u n + \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^+ ∑n=1+∞​un+​与 ∑ n = 1 + ∞ u n − \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^- ∑n=1+∞​un−​均发散到 + ∞ +\infty +∞.

这里 ∑ n = 1 + ∞ u n + \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^+ ∑n=1+∞​un+​是 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​全体正项构成的级数， ∑ n = 1 + ∞ u n − \sum_{n=1}^{+\infty}u_n^- ∑n=1+∞​un−​是 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​全体负项变号后构成的级数，它们都是正项级数.

定理十一

绝对收敛级数经改变项的次序后所得的新技术仍绝对收敛，并且级数的和不变（即绝对收敛级数满足加法交换律）.

定理十二

设 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty}u_n ∑n=1+∞​un​与 ∑ n = 1 + ∞ v n \sum_{n=1}^{+\infty}v_n ∑n=1+∞​vn​都绝对收敛，其和分别为 s s s和 σ \sigma σ，则他们的柯西乘积
∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = 1 n u k v n − k + 1 ) = u 1 v 1 + ( u 1 v 2 + u 2 v 1 ) + . . . + ( u 1 v n + u 2 v n − 1 + . . . + u n v 1 ) + . . . \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{k=1}^{n}u_kv_{n-k+1})=u_1v_1+(u_1v_2+u_2v_1)+...+(u_1v_n+u_2v_{n-1}+...+u_nv_1)+... n=1∑∞​(k=1∑n​uk​vn−k+1​)=u1​v1​+(u1​v2​+u2​v1​)+...+(u1​vn​+u2​vn−1​+...+un​v1​)+...
仍绝对收敛，且其和为 s σ s\sigma sσ.

written by arycra_07, 2022/3/3.

标签：infty,级数,sum,un,无穷,审敛,收敛
来源： https://blog.csdn.net/m0_59924193/article/details/123245158