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连续运动学Continuum Kinematics

作者：互联网

想学弹性力学，流体力学的本质还是要看连续介质力学

连续介质

连续介质continuous medium，continuum， material body
描述characterize
初始构形initial，reference，undeformed configuration
当前构形current，actual，deformed configuration
同质的homogeneous
粒子，物质点particle，material point
空间点point
粒子轨迹particle trajectory，path line，locus of the point
刚体运动Rigid Body Motion：平动，转动；粒子间的距离不变
变形运动Motion with Deformation：粒子间的距离改变
质量密度mass density

一般运动是刚体运动与变形运动叠加

构形是由连续粒子构成，当前时刻的构形与下一时刻的构形是一一对应的，可以由函数 ϕ \phi ϕ与 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1描述。
双射bijective确保了逆函数的存在

下文，黑体表示二阶张量

刚体运动

物质坐标系material system：固定坐标系 e ^ i \hat{e}_i e^i​，固定在时空中
空间坐标系spatial system：附体坐标系 I ^ i \hat{I}_i I^i​
x ⃗ = c ⃗ + X ⃗ \vec{x} = \vec{c} + \vec{X} x =c +X
x ⃗ = c ⃗ + Q ⋅ X ⃗ \vec{x} = \vec{c} + \bold{Q} \cdot \vec{X} x =c +Q⋅X
两个公式中右端第二项的基不同， Q \bold{Q} Q将向量从基 I ^ i \hat{I}_i I^i​映射到 e ^ i \hat{e}_i e^i​

本章中 c ⃗ = 0 \vec{c}=0 c =0，两个坐标系叠加

初始构形的质量密度 ρ 0 ( X ⃗ ) \rho_0(\vec{X}) ρ0​(X )，当前构形的质量密度 ρ ( x ⃗ , t ) \rho(\vec{x},t) ρ(x ,t)。前者是时不变标量场，后者是时变标量场。

运动学

位矢position vector
不穿透公理The Axiom of Impenetrability

位移 u ⃗ = x ⃗ = X ⃗ \vec{u}=\vec{x}=\vec{X} u =x =X

物质坐标 x ⃗ = x ⃗ ( X ⃗ , t ) \vec{x} = \vec{x}(\vec{X}, t) x =x (X ,t)
空间坐标 X ⃗ = X ⃗ ( x ⃗ , t ) \vec{X} = \vec{X}(\vec{x}, t) X =X (x ,t)
雅可比行列式 J = ∣ ∂ x i ∂ X j ∣ J=|\frac{\partial x_i}{\partial X_j}| J=∣∂Xj​∂xi​​∣，运动是可能的。

欧拉量等于拉格朗日量 Z ( X ⃗ , t ) = Z ( X ⃗ ( x ⃗ , t ) , t ) = z ( x ⃗ , t ) Z(\vec{X}, t) = Z(\vec{X}(\vec{x},t), t) = z(\vec{x}, t) Z(X ,t)=Z(X (x ,t),t)=z(x ,t)

x ⃗ P ( X ⃗ , 0 ) = X ⃗ P \vec{x}^P(\vec{X}, 0) = \vec{X}^P x P(X ,0)=X P：在0时刻，固定坐标系与平动坐标系重合，因此点P在两个坐标系中的位矢相同，即 x ⃗ P = X ⃗ P \vec{x}^P = \vec{X}^P x P=X P
P , S , Q P, S, Q P,S,Q三个粒子运动， t 0 t_0 t0​时刻粒子P的位置为 P P P点， P P P点在 t 0 , t 1 , t 2 t_0, t_1, t_2 t0​,t1​,t2​时刻，分别由三个粒子占据
粒子P的轨迹
x ⃗ ( X ⃗ P , t 0 ) = x ⃗ P \vec{x}(\vec{X}^P, t_0)=\vec{x}^P x (X P,t0​)=x P
x ⃗ ( X ⃗ P , t 1 ) = x ⃗ P ′ \vec{x}(\vec{X}^P, t_1)=\vec{x}^{P'} x (X P,t1​)=x P′
x ⃗ ( X ⃗ P , t 2 ) = x ⃗ P ′ ′ \vec{x}(\vec{X}^P, t_2)=\vec{x}^{P''} x (X P,t2​)=x P′′
经过点P的不同粒子
X ⃗ ( x ⃗ P , t 0 ) = X ⃗ P \vec{X}(\vec{x}^P, t_0)=\vec{X}^P X (x P,t0​)=X P
X ⃗ ( x ⃗ S ′ , t 1 ) = X ⃗ ( x ⃗ P , t 1 ) = X ⃗ S \vec{X}(\vec{x}^{S'}, t_1)=\vec{X}(\vec{x}^P, t_1)=\vec{X}^S X (x S′,t1​)=X (x P,t1​)=X S
X ⃗ ( x ⃗ Q ′ ′ , t 2 ) = X ⃗ ( x ⃗ P , t 2 ) = X ⃗ Q \vec{X}(\vec{x}^{Q''}, t_2)=\vec{X}(\vec{x}^P, t_2)=\vec{X}^Q X (x Q′′,t2​)=X (x P,t2​)=X Q

物质时间导数

拉格朗日量的物质导数
D θ ( X ⃗ , t ) D t = d θ ( X ⃗ , t ) d t \frac{D \theta (\vec{X}, t)}{Dt} = \frac{d \theta (\vec{X}, t)}{dt} DtDθ(X ,t)​=dtdθ(X ,t)​
欧拉量的物质导数
D θ ( x ⃗ , t ) D t = ∂ θ ( x ⃗ , t ) ∂ t + ∂ θ ( x ⃗ , t ) ∂ x k ∂ x k ( X ⃗ , t ) ∂ t \frac{D \theta (\vec{x}, t)}{Dt} = \frac{\partial \theta (\vec{x}, t)}{\partial t} + \frac{\partial \theta(\vec{x}, t)}{\partial x_k} \frac{\partial x_k(\vec{X}, t)}{\partial t} DtDθ(x ,t)​=∂t∂θ(x ,t)​+∂xk​∂θ(x ,t)​∂t∂xk​(X ,t)​

稳态场 ϕ ( x ⃗ , t ) \phi(\vec{x},t) ϕ(x ,t)， ∂ ϕ ( x ⃗ , t ) ∂ t = 0 \frac{\partial \phi(\vec{x},t)}{\partial t} = 0 ∂t∂ϕ(x ,t)​=0， ϕ ( x ⃗ , t ) = ϕ ( x ⃗ ) \phi(\vec{x},t)=\phi(\vec{x}) ϕ(x ,t)=ϕ(x )
同一空间点上的物理量不变，同一空间点会经过不同的粒子，这些粒子在这个空间点上时，物理量相同。但是 ϕ ( x ⃗ ( X ⃗ , t ) ) = ϕ ( X ⃗ , t ) \phi(\vec{x}(\vec{X},t))=\phi(\vec{X},t) ϕ(x (X ,t))=ϕ(X ,t)，表明同一粒子在不同空间点上的物理量是随时间变化的。

物理量场同质， ∇ x ⃗ v ⃗ = 0 \nabla_{\vec{x}}\vec{v}=\bold{0} ∇x ​v =0
注： ∇ x ⃗ v ⃗ \nabla_{\vec{x}}\vec{v} ∇x ​v 是一个并矢

流线：空间中有一些空间点上的粒子速度方向相同，将这一时刻的粒子连线便是流线。稳态时，流线与轨迹线重合。

The Deformation Gradient

之前研究的是单个粒子的运动如何变化，现在研究两个粒子间的相对运动如何变化，研究line element的变化

P Q ⃗ \vec{PQ} PQ ​的单位向量 M ⃗ \vec{M} M ， P Q ⃗ \vec{PQ} PQ ​的单位向量 M ⃗ \vec{M} M
拉伸率stretch、stretch ratio λ m ^ = d s d S \lambda_{\hat{m}} = \frac{ds}{dS} λm^​=dSds​
单位伸长Unit Extension ϵ m ⃗ = λ m ^ − 1 \epsilon_{\vec{m}}=\lambda_{\hat{m}}-1 ϵm ​=λm^​−1

d x ⃗ = x ⃗ ( X ⃗ + d X ⃗ , t ) − x ⃗ ( X ⃗ , t ) d\vec{x} = \vec{x}(\vec{X}+d\vec{X},t)-\vec{x}(\vec{X},t) dx =x (X +dX ,t)−x (X ,t)，由泰勒级数以及省略高阶项，得 d x ⃗ = F ⋅ d X ⃗ d\vec{x} = \bold{F} \cdot d\vec{X} dx =F⋅dX ，其中 F \bold{F} F是一个两点张量
注：两点张量是一个坐标系中两个不同向量的映射，两点张量是不同坐标系中同一个向量的映射
d X ⃗ = F − 1 ⋅ d x ⃗ d\vec{X} = \bold{F}^{-1} \cdot d\vec{x} dX =F−1⋅dx

物质变形梯度 F \bold{F} F
空间变形梯度 F − 1 \bold{F}^{-1} F−1
雅可比行列式 J = d e t ( F ) J=det(\bold{F}) J=det(F)
物质位移梯度， ∇ X ⃗ u ⃗ ( X ⃗ , t ) = F − 1 \nabla_{\vec{X}}\vec{u}(\vec{X},t)=\bold{F}-\bold{1} ∇X ​u (X ,t)=F−1
空间位移梯度， ∇ x ⃗ u ⃗ ( x ⃗ , t ) = 1 − F − 1 \nabla_{\vec{x}}\vec{u}(\vec{x},t)=\bold{1} - \bold{F}^{-1} ∇x ​u (x ,t)=1−F−1

物质变形梯度的物质导数 F ˙ = L ⋅ F \dot{\bold{F}} = \bold{L}\cdot \bold{F} F˙=L⋅F
空间速度梯度 L = ∇ x ⃗ v ⃗ ( x ⃗ , t ) = F ˙ ⋅ F − 1 \bold{L}=\nabla_{\vec{x}}\vec{v}(\vec{x},t) =\dot{\bold{F}}\cdot \bold{F}^{-1} L=∇x ​v (x ,t)=F˙⋅F−1
变形率张量 L s y m \bold{L}^{sym} Lsym
旋转率张量，自旋张量，涡量张量 L s k e w \bold{L}^{skew} Lskew
涡量 W ⃗ = 2 w ⃗ = r o t ( v ⃗ ) = ∇ x ⃗ × v ⃗ \vec{W}=2\vec{w}=rot(\vec{v})=\nabla_{\vec{x}} \times \vec{v} W =2w =rot(v )=∇x ​×v ，是一个轴向量（赝向量）， w ⃗ \vec{w} w 由反对称张量 L s k e w \bold{L}^{skew} Lskew的分量组成
L s k e w ⋅ v ⃗ = w ⃗ × v ⃗ \bold{L}^{skew} \cdot \vec{v} = \vec{w} \times \vec{v} Lskew⋅v =w ×v

空间变形梯度的物质导数 F − 1 ˙ = − F − 1 ⋅ L \dot{\bold{F}^{-1}} = -\bold{F}^{-1}\cdot \bold{L} F−1˙=−F−1⋅L

雅可比行列式的物质导数 J ˙ = J T r ( L ) \dot{J} = J Tr(\bold{L}) J˙=JTr(L)
T r ( L ) = T r ( L s y m ) = T r ( L s k e w ) = T r ( L s k e w ) + T r ( L s k e w ) Tr(\bold{L}) = Tr(\bold{L}^{sym}) = Tr(\bold{L}^{skew}) = Tr(\bold{L}^{skew}) + Tr(\bold{L}^{skew}) Tr(L)=Tr(Lsym)=Tr(Lskew)=Tr(Lskew)+Tr(Lskew)

有限应变张量

物质应变 ( d s ) 2 − ( d S ) 2 ( d S ) 2 \frac{(ds)^2 - (dS)^2}{(dS)^2} (dS)2(ds)2−(dS)2​
空间应变 ( d s ) 2 − ( d S ) 2 ( d s ) 2 \frac{(ds)^2 - (dS)^2}{(ds)^2} (ds)2(ds)2−(dS)2​
( d S ) 2 = d X ⃗ ⋅ d X ⃗ (dS)^2 = d\vec{X} \cdot d\vec{X} (dS)2=dX ⋅dX
( d s ) 2 = d x ⃗ ⋅ d x ⃗ (ds)^2 = d\vec{x} \cdot d\vec{x} (ds)2=dx ⋅dx
( d s ) 2 − ( d S ) 2 = d X ⃗ ⋅ ( 2 E ) ⋅ d X ⃗ (ds)^2 - (dS)^2 = d\vec{X} \cdot (2\bold{E}) \cdot d\vec{X} (ds)2−(dS)2=dX ⋅(2E)⋅dX
( d s ) 2 − ( d S ) 2 = d x ⃗ ⋅ ( 2 e ) ⋅ d x ⃗ (ds)^2 - (dS)^2 = d\vec{x} \cdot (2\bold{e}) \cdot d\vec{x} (ds)2−(dS)2=dx ⋅(2e)⋅dx

right Cauchy-Green deformation tensor，Green deformation tensor
C ( X ⃗ , t ) = F T ⋅ F \bold{C}(\vec{X},t)=\bold{F}^T \cdot \bold{F} C(X ,t)=FT⋅F
left Cauchy-Green deformation tensor，Finger deformation tensor
b ( x ⃗ , t ) = F ⋅ F T \bold{b}(\vec{x},t)=\bold{F} \cdot \bold{F}^T b(x ,t)=F⋅FT
Piola deformation tensor
B ( X ⃗ , t ) = F − 1 ⋅ F − T = C ( X ⃗ , t ) − 1 \bold{B}(\vec{X},t)=\bold{F}^{-1}\cdot \bold{F}^{-T}=\bold{C}(\vec{X},t)^{-1} B(X ,t)=F−1⋅F−T=C(X ,t)−1
注：右对应物质，左对应空间
雅可比行列式 J = d e t ( C ) = d e t ( b ) J=\sqrt{det(\bold{C})}=\sqrt{det(\bold{b})} J=det(C) ​=det(b) ​

Green-Lagrange strain tensor， Lagrangian finite strain tensor，the Green-St.Venant strain tensor
E ( X ⃗ , t ) = ( C − 1 ) / 2 \bold{E}(\vec{X},t)=(\bold{C}-\bold{1})/2 E(X ,t)=(C−1)/2
E = ( J + J T + J T ⋅ J ) / 2 , J = ∇ X ⃗ u ⃗ ( X ⃗ , t ) \bold{E} = (\bold{J} + \bold{J}^T + \bold{J}^T\cdot \bold{J})/2, \bold{J}=\nabla_{\vec{X}}\vec{u}(\vec{X},t) E=(J+JT+JT⋅J)/2,J=∇X ​u (X ,t)

空间有限应变张量The Almansi Strain Tensor

Cauchy deformation tensor
c ( x ⃗ , t ) = F − T ⋅ F − 1 \bold{c}(\vec{x},t)=\bold{F}^{-T}\cdot \bold{F}^{-1} c(x ,t)=F−T⋅F−1
Almansi strain tensor，Eulerian finite strain tensor
e ( x ⃗ , t ) = ( 1 − c ) / 2 \bold{e}(\vec{x},t)=(\bold{1} - \bold{c})/2 e(x ,t)=(1−c)/2
e = ( j + j T + j T ⋅ j ) / 2 \bold{e} = (\bold{j} + \bold{j}^T + \bold{j}^T\cdot \bold{j})/2 e=(j+jT+jT⋅j)/2

刚体运动，应变张量为0

右柯西-格林变形张量的物质时间导数 D D t C = C ˙ \frac{D}{Dt}\bold{C} = \dot{\bold{C}} DtD​C=C˙
格林-拉格朗日的物质时间导数 D D t E = E ˙ \frac{D}{Dt}\bold{E} = \dot{\bold{E}} DtD​E=E˙
E ˙ = C ˙ / 2 = F T ⋅ D ⋅ F \dot{\bold{E}} = \dot{\bold{C}}/2 = \bold{F}^T \cdot \bold{D} \cdot \bold{F} E˙=C˙/2=FT⋅D⋅F

总结：
right Cauchy-Green deformation tensor
left Cauchy-Green deformation tensor
Piola deformation tensor
Green-Lagrange strain tensor
Cauchy deformation tensor
Almansi strain tensor

运动特例

同质变形 F = F ( t ) \bold{F}=\bold{F}(t) F=F(t)，对 d x ⃗ = F ( t ) ⋅ d X ⃗ d\vec{x}=\bold{F}(t)\cdot d\vec{X} dx =F(t)⋅dX 积分，得
x ⃗ = F ( t ) ⋅ X ⃗ + c ⃗ ( t ) \vec{x}=\bold{F}(t)\cdot \vec{X} + \vec{c}(t) x =F(t)⋅X +c (t)

刚体运动
物质柯西-格林变形张量 C = 1 \bold{C}=\bold{1} C=1
空间柯西-格林变形张量 b = 1 \bold{b}=\bold{1} b=1
物质有限应变张量 E = 0 \bold{E}=\bold{0} E=0
空间有限应变张量 e = 0 \bold{e}=\bold{0} e=0
变形率张量 L s y m = 0 \bold{L}^{sym}=\bold{0} Lsym=0

物质变形梯度的极分解

F = R ⋅ U = V ⋅ R \bold{F} = \bold{R} \cdot \bold{U} = \bold{V} \cdot \bold{R} F=R⋅U=V⋅R
U \bold{U} U是右拉伸张量
V \bold{V} V是左拉伸张量
R \bold{R} R是旋转张量

C = F T ⋅ F \bold{C}=\bold{F}^T\cdot \bold{F} C=FT⋅F
b = F ⋅ F T \bold{b}=\bold{F}\cdot \bold{F}^T b=F⋅FT
U = R T ⋅ V ⋅ R \bold{U} = \bold{R}^T \cdot \bold{V} \cdot \bold{R} U=RT⋅V⋅R
V = R ⋅ U ⋅ R T \bold{V} = \bold{R} \cdot \bold{U} \cdot \bold{R}^T V=R⋅U⋅RT

疑问：proper orthogonal tensor

面单元与体单元变形

之前讨论线单元，本节讨论面单元与体单元的变形

面单元变形，Nanson’s formula
d a ⃗ = J d A ⃗ ⋅ F − 1 = J F − T ⋅ d A ⃗ d\vec{a} = J d\vec{A}\cdot \bold{F}^{-1} = J \bold{F}^{-T} \cdot d\vec{A} da =JdA ⋅F−1=JF−T⋅dA

体单元变形
d V = J d V 0 dV = J dV_0 dV=JdV0​

初始构形与当前构形质量密度的关系：
ρ 0 ( X ⃗ ) = J ρ ( x ⃗ , t ) \rho_0(\vec{X})=J\rho(\vec{x},t) ρ0​(X )=Jρ(x ,t)

Dilatation d V − d V 0 d V 0 \frac{dV - dV_0}{dV_0} dV0​dV−dV0​​

等体积运动，不可压缩：体积单元保持不变
∣ F ∣ = J = 1 = d V d V 0 |\bold{F}|=J=1=\frac{dV}{dV_0} ∣F∣=J=1=dV0​dV​
D D t ( d V ) = 0 \frac{D}{Dt}(dV)=0 DtD​(dV)=0
∇ x ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \nabla_{\vec{x}}\cdot \vec{v}=0 ∇x ​⋅v =0
ρ 0 ( X ⃗ ) = ρ ( x ⃗ , t ) \rho_0(\vec{X})=\rho(\vec{x},t) ρ0​(X )=ρ(x ,t)

物质域，控制域

material curve，material surface，material volume：由粒子组成的线，面，体
control surface，control volume：空间中的面，体

输运方程

物质线上的物理量线积分的物质导数
物质面上的物理量面积分的物质导数
物质体上的物理量体积分的物质导数

散度定理：散度的体积分等于法向通量的面积分
注：切向通量并没有出去到控制体外面

环量与涡量

斯托克斯定理：法向旋度的体积分等于环量
速度的旋度为涡量

柯西涡量公式：初始构形与当前构形涡量的关系，环量守恒
w ⃗ 0 = J F − 1 ⋅ w ⃗ \vec{w}_0 = J\bold{F}^{-1} \cdot \vec{w} w 0​=JF−1⋅w

物质变形梯度的分解

F = F i s o ⋅ F v o l \bold{F} = \bold{F}^{iso}\cdot \bold{F}^{vol} F=Fiso⋅Fvol
初始构形—— F \bold{F} F——当前构形
初始构形—— F v o l \bold{F}^{vol} Fvol——纯膨胀—— F i s o \bold{F}^{iso} Fiso——当前构形

小变形

刚度很大的材料，受力时位移很小， J i j < < 1 J_{ij}<<1 Jij​<<1，这是就可以近似为无限小应变理论（小变形理论，小位移理论）。

线性格林-拉格朗日应变张量 E = ( J + J T ) / 2 \bold{E} = (\bold{J} + \bold{J}^T)/2 E=(J+JT)/2
线性Almansi应变张量 e = ( j + j T ) / 2 \bold{e} = (\bold{j} + \bold{j}^T)/2 e=(j+jT)/2

如果位移与位移梯度都很小，无限小应变张量 E = e \bold{E} = \bold{e} E=e
在这里插入图片描述
工程应变是换了另一套标记
在这里插入图片描述

其他方式定义的应变

对数应变张量
Biot应变张量
统一应变张量

应变的一维测量

柯西应变，工程应变，线性应变 ϵ C = Δ L L 0 \epsilon_C = \frac{\Delta L}{L_0} ϵC​=L0​ΔL​
对数应变，真实应变 ϵ H = l n ( L L 0 ) \epsilon_H = ln(\frac{L}{L_0}) ϵH​=ln(L0​L​)
格林-拉格朗日应变 ϵ G = L 2 − L 0 2 2 L 0 2 \epsilon_G = \frac{L^2-L_0^2}{2L_0^2} ϵG​=2L02​L2−L02​​
Almansi应变 ϵ G = L 2 − L 0 2 2 L 2 \epsilon_G = \frac{L^2-L_0^2}{2L^2} ϵG​=2L2L2−L02​​
Swaiger应变 ϵ S = Δ L L \epsilon_S = \frac{\Delta L}{L} ϵS​=LΔL​
Kuhn应变 ϵ K = L 3 − L 0 3 3 L 0 2 L \epsilon_K = \frac{L^3-L_0^3}{3L_0^2L} ϵK​=3L02​LL3−L03​​

伸长率接近1时（无限小应变），以上应变相等
在这里插入图片描述

spin自转
revolution公转
rotation旋转
translation平动
nutation章动
precession进动
whirl涡动
疑问：地球的运动是平动加自转，那旋转机械呢？

isotropic：物理属性不依赖于方向
homogoenous：物理属性不依赖于位置
因此各向同性包括同质

梯度 ∇ v \nabla v ∇v
散度 ∇ ⋅ v ⃗ \nabla \cdot \vec{v} ∇⋅v
旋度 ∇ × v ⃗ \nabla \times \vec{v} ∇×v
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus

标签：frac,bold,应变,cdot,运动学,张量,Kinematics,vec,Continuum
来源： https://blog.csdn.net/qq_37083038/article/details/123144964